Διοφαντική με εκθέτη

#1

Να επιλυθεί στους θετικούς ακειραίους η

(2n+5)(3n+8)=77^m

Σχόλιο: Μου την έστειλαν σήμερα για επίλυση, από την Ρουμανία. Άλλαξα λίγο τα νούμερα γιατί δεν ξέρω την αληθινή της προέλευση, για να μην βρω κανένα μπελά. Φρόντισα όμως η μέθοδος επίλυσης να είναι ίδια. Ίσα-ίσα η εκδοχή που γράφω είναι κατά τι ευκολότερη από την αρχική, τουλάχιστον όπως την έλυσα ο ίδιος.

Κάνει και για Juniors, που ξέρουν λίγο παραπάνω Θεωρία Αριθμών, αλλά όχι πολλά καθώς η άσκηση χρειάζεται μόνο βασικά εργαλεία όπως βασικές ιδιότητες διαιρετότητας και πρώτων αριθμών.

#2

Μιας και πέρασαν κάποιες μέρες.

Αρχικά δείχνουμε ότι τα 2n+5,3n+8

είναι πρώτοι μεταξύ τους. Αυτό ισχύει επειδή

$\displaystyle (2n+5,3n+8) = (2n+5,3n+8-(2n+5)) = (2n+5,n+3) = (n+3,2n+5-2(n+3)) = (n+3,-1) = 1$

Επειδή επιπλέον 1 < 2n+5 < 3n+8

τότε πρέπει 2n+5 = 7^m

και

. Μία προφανώς λύση είναι η n=1,m=1

. Θα δείξουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες. Ας παρατηρήσουμε ότι 2(2n+5) = 4n+10 > 3n+8

. Όμως για $m \geqslant 2$ είναι

$\displaystyle 3n+8 = 11^m = 121 \cdot 11^{m-2} > 121 \cdot 7^{m-2} > 98 \cdot 7^{m-2} = 2 \cdot 7^m = 2(2n+5)$

άτοπο.

Άρα m=1

από όπου συμπεραίνουμε ότι n=1

.

ksofsa · #3

Καλησπέρα!

Οι αριθμοί που έχουν επιλεγεί επιτρέπουν και λύση με διακρίνουσα!

Η σχέση γράφεται:

6n^2+31n+40-77^m=0

και τη θεωρώ ως τριώνυμο του

με διακρίνουσα

$\Delta =31^2-4\cdot 6\cdot 40+4\cdot 6\cdot 77^m=961-960+24\cdot 77^m=1+24\cdot 77^m$ .

Πρέπει:

$1+24\cdot 77^m=a^2\Leftrightarrow 24\cdot 77^m=(a-1)(a+1)\Leftrightarrow 6\cdot 7^m\cdot 11^m=k(k+1)$ ,

όπου $k=\dfrac{a-1}{2}$ .

Οι k, k+1

πρώτοι μεταξύ τους ως διαδοχικοί.

Αν $11^m\mid k+1$ ,τότε $k+1\geq 11^m, k\leq 6\cdot 7^m\Rightarrow 11^m-6\cdot 7^m\leq 1$ , άτοπο για $m\geq 4$ , όπως αποδεικνύεται με επαγωγή.

Η περίπτωση που $11^m\mid k$ απορρίπτεται αναλόγως για $m\geq 4$ .

Τελικά , μένουν οι περιπτώσεις m=1,2,3

, που δίνουν τη λύση (n,m)=(1,1)

(μοναδική λύση).

Συμπερασματικά , παρατηρούμε ότι το ευτύχημα υπήρξε η ισότητα της διακρίνουσας του τριωνύμου 6n^2+31n+40

με το

!

#4

Demetres έγραψε: Τρί Δεκ 08, 2020 4:35 pm Μιας και πέρασαν κάποιες μέρες.

Αρχικά δείχνουμε ότι τα είναι πρώτοι μεταξύ τους. Αυτό ισχύει επειδή

$\displaystyle (2n+5,3n+8) = (2n+5,3n+8-(2n+5)) = (2n+5,n+3) = (n+3,2n+5-2(n+3)) = (n+3,-1) = 1$

Επειδή επιπλέον τότε πρέπει και . Μία προφανώς λύση είναι η . Θα δείξουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες. Ας παρατηρήσουμε ότι . Όμως για $m \geqslant 2$ είναι

$\displaystyle 3n+8 = 11^m = 121 \cdot 11^{m-2} > 121 \cdot 7^{m-2} > 98 \cdot 7^{m-2} = 2 \cdot 7^m = 2(2n+5)$

άτοπο.

Άρα από όπου συμπεραίνουμε ότι .

Λίγο βιαστικά:

Η λύση μου ήταν ακριβώς η ίδια με του Δημήτρη.

Στο αρχικό πρόβλημα που έλαβα από Ρουμανία (στο οποίο έκανα μικροαλλαγή και μάλιστα απειροελάχιστα προς το ευκολότερο) ζητούσε το γινόμενο των 2n+3

και

να κάνει

. H διαδικασία είναι η ίδια, π.χ. έπεται 2n+3=5^m

και

, με προφανή λύση

και

ίσα με

. Κατόπιν απορρίπτουμε τις $m\ge 2$ ως εξής: Την μεν m=2

με απευθείας έλεγχο και μετά για m>2

(αντί του

της παραπάνω) λέμε

$7^m = 3n+4 < 2(2n+3) = 2\times 5^m = 2\times 5^3\times 5^{m-3} = 250 \times 5^{m-3}< 343\times 5^{m-3} =$

$=7^3\times 5^{m-3} \le 7^3\times 7^{m-3} = 7^m$ , άτοπo.

Διοφαντική με εκθέτη

Διοφαντική με εκθέτη

Re: Διοφαντική με εκθέτη

Re: Διοφαντική με εκθέτη

Re: Διοφαντική με εκθέτη

Μέλη σε σύνδεση