Τόπος ίχνους

KARKAR · #1

: Τόπος ίχνους.png (11.49 KiB) Προβλήθηκε 993 φορές

Το σημείο

κινείται στον ημιάξονα Oy , (a>0)

. Η

είναι διχοτόμος . Βρείτε την εξίσωση

του γεωμετρικού τόπου του σημείου

( της κόκκινης γραμμής ως συνάρτηση μιας μεταβλητής )

και δείξτε ότι είναι τμήμα υπερβολής (ποιας ; με την συνήθη στην δική μας βιβλιογραφία γραφή ) .

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Φεβ 07, 2021 12:39 pm Τόπος ίχνους.pngΤο σημείο κινείται στον ημιάξονα . Η είναι διχοτόμος . Βρείτε την εξίσωση

του γεωμετρικού τόπου του σημείου ( της κόκκινης γραμμής ως συνάρτηση μιας μεταβλητής )

και δείξτε ότι είναι τμήμα υπερβολής (ποιας ; με την συνήθη στην δική μας βιβλιογραφία γραφή ) .

: Τόπος ίχνους.png (24.77 KiB) Προβλήθηκε 968 φορές

Η κλίση της

είναι $\dfrac{a}{6}$ αν

η κλίση της

θα ισχύει : $\dfrac{{2k}}{{1 - {k^2}}} = \dfrac{a}{6} \Leftrightarrow 12k = a\left( {1 - {k^2}} \right)\,\,\left( 1 \right)$ .

Το σημείο του τόπου $D\left( {x,y} \right)$ θα επαληθεύει ταυτόχρονα τις εξισώσεις των $BD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ δηλαδή :

$\left\{ \begin{gathered} y = k\left( {x + 6} \right) \hfill \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{a} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k = \frac{y}{{x + 6}} \hfill \\ a = \frac{{6y}}{{6 - x}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ κι έτσι η $\left( 1 \right)$ δίδει:

$6y\left( {3{x^2} + 12x - {y^2} - 36} \right) = 0$ .Κρατάμε την ,

$3{x^2} + 12x - {y^2} - 36 = 0 \Leftrightarrow \boxed{\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}}} = 1}$ της οποίας το δεξιό κλάδο διαγράφει το

Τώρα ειδικά με a > 0

και μόνο τον δεξιό κλάδο θα πρέπει : $\boxed{y > 0\,\,}$ , επειδή δε

${y^2} = 3{x^2} + 12x - 36 > 0 \Rightarrow |x + 2| > 4 \Rightarrow \boxed{x > 2}$

Τέλος λόγω συνεχείας : $\boxed{y = f\left( x \right) = \sqrt {3{{(x + 2)}^2} - 48} }$

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Φεβ 07, 2021 12:39 pm Τόπος ίχνους.pngΤο σημείο κινείται στον ημιάξονα . Η είναι διχοτόμος . Βρείτε την εξίσωση

του γεωμετρικού τόπου του σημείου ( της κόκκινης γραμμής ως συνάρτηση μιας μεταβλητής )

και δείξτε ότι είναι τμήμα υπερβολής (ποιας ; με την συνήθη στην δική μας βιβλιογραφία γραφή ) .

Από όμοια τρίγωνα είναι $\displaystyle \frac{y}{a} = \frac{{6 - x}}{6} \Leftrightarrow$ $\boxed{a = \frac{{6y}}{{6 - x}}}$ (1)

και λόγω της διχοτόμου,

: Τόπος ίχνους.png (20.08 KiB) Προβλήθηκε 945 φορές

$\displaystyle d(D,BC) = d(D,BA) \Leftrightarrow y = \frac{{|ax - 6y + a|}}{{\sqrt {{a^2} + 36} }} \Rightarrow {y^2} = \frac{{{{\left( {a(x + 6) - 6y)} \right)}^2}}}{{{a^2} + 36}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle a = \frac{{12y(x + 6)}}{{{{(x + 6)}^2} - {y^2}}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{{12y(x + 6)}}{{{{(x + 6)}^2} - {y^2}}} = \frac{{6y}}{{6 - x}} \Leftrightarrow$ $\boxed{3{x^2} + 12x - 36 - {y^2} = 0}$

Τα υπόλοιπα όπως ο Νίκος.

KARKAR · #4

: Διχοτόμος ισοσκελούς.png (10.54 KiB) Προβλήθηκε 925 φορές

Από όμοια τρίγωνα είναι $\displaystyle \frac{y}{a} = \frac{{6 - x}}{6} \Leftrightarrow$ $\boxed{a = \frac{{6y}}{{6 - x}}}$ , άρα : $\boxed{a^2 = \frac{{36y^2}}{({6 - x})^2}}$ .

Λόγω της διχοτόμου είναι : $\dfrac{BA^2}{BC^2}=\dfrac{DA^2}{DC^2}=\dfrac{XO^2}{XC^2}$ , δηλαδή : $\dfrac{a^2+36}{144}=\dfrac{x^2}{(6-x)^2}$ .

Επομένως : $a^2+36=\dfrac{144x^2}{(6-x)^2}$ (*), ήτοι : $\dfrac{{36y^2}}{({6 - x})^2}+\dfrac{36(6-x)^2}{(6-x)^2}=\dfrac{144x^2}{(6-x)^2}$ .

Επειδή 0<x<6

, απλοποιώντας , παίρνω : y^2+(6-x)^2=4x^2

ή :

.

Η τελευταία δείχνει ότι έπρεπε να προβλέψουμε τον περιορισμό : 2<x<6

.

Αυτό προκύπτει από την (*) , διότι πρέπει : $\dfrac{144x^2}{(6-x)^2}>36$ ...

#5

KARKAR έγραψε: Κυρ Φεβ 07, 2021 12:39 pm Τόπος ίχνους.pngΤο σημείο κινείται στον ημιάξονα . Η είναι διχοτόμος . Βρείτε την εξίσωση

του γεωμετρικού τόπου του σημείου ( της κόκκινης γραμμής ως συνάρτηση μιας μεταβλητής )

και δείξτε ότι είναι τμήμα υπερβολής (ποιας ; με την συνήθη στην δική μας βιβλιογραφία γραφή ) .

Προκύπτει λοιπόν το εξής θέμα:

Έστω ισοσκελές, $\vartriangle ABC\,\,\left( {AB = AC} \right)$ σταθερής βάσης $\boxed{BC = 3a}$ και μεταβλητής κορυφής

.

Προεκτείνω την

προς το

κατά

.

Φέρνω την εσωτερική διχοτόμο

του $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι : DE - DC = 2a

Δεν ασχολήθηκα με την λύση του μέσω Ευκλειδείου γεωμετρίας.

#6

Doloros έγραψε: Δευ Φεβ 08, 2021 1:41 pm
Προκύπτει λοιπόν το εξής θέμα:

Έστω ισοσκελές, $\vartriangle ABC\,\,\left( {AB = AC} \right)$ σταθερής βάσης $\boxed{BC = 3a}$ και μεταβλητής κορυφής .

Προεκτείνω την προς το κατά .

Φέρνω την εσωτερική διχοτόμο του $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι :

Δεν ασχολήθηκα με την λύση του μέσω Ευκλειδείου γεωμετρίας.

$\displaystyle DC = \frac{{3ab}}{{3a + b}}$ και με νόμο συνημιτόνου διαδοχικά στα τρίγωνα ABC, EDC

έχω $\displaystyle \cos C = \frac{{3a}}{{2b}}$ και στη συνέχεια:

: Διχοτόμος-υπερβολή.png (13.83 KiB) Προβλήθηκε 904 φορές

$\displaystyle E{D^2} = 16{a^2} + {\left( {\frac{{3ab}}{{3a + b}}} \right)^2} - 8a\frac{{3ab}}{{3a + b}} \cdot \frac{{3a}}{{2b}} \Leftrightarrow ED = \frac{{a\sqrt {16{{(3a + b)}^2} + 9{b^2} - 36a(3a + b)} }}{{3a + b}}$

$\displaystyle ED = \frac{{a\sqrt {36{a^2} + 60ab + 25{b^2}} }}{{3a + b}} = \frac{{a(6a + 5b)}}{{3a + b}} \Rightarrow$ $\boxed{ED-DC=2a}$

Τόπος ίχνους

Τόπος ίχνους

Re: Τόπος ίχνους

Re: Τόπος ίχνους

Re: Τόπος ίχνους

Re: Τόπος ίχνους

Re: Τόπος ίχνους

Μέλη σε σύνδεση