Ελάχιστη υποτείνουσα

KARKAR · #1

: Ελάχιστη υποτείνουσα.png (8.32 KiB) Προβλήθηκε 686 φορές

Μεταβλητό ορθογώνιο τρίγωνο ABC

έχει τις κορυφές A , B

σε δύο παράλληλες ευθείες

και την κορυφή

πάνω στην μεσοπαράλληλή τους . Αν η απόσταση των ευθειών είναι

,

υπολογίστε το ελάχιστο μήκος της υποτείνουσας

.

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 17, 2021 7:45 am Ελάχιστη υποτείνουσα.pngΜεταβλητό ορθογώνιο τρίγωνο έχει τις κορυφές σε δύο παράλληλες ευθείες

και την κορυφή πάνω στην μεσοπαράλληλή τους . Αν η απόσταση των ευθειών είναι ,

υπολογίστε το ελάχιστο μήκος της υποτείνουσας .

Χωρίς βλάβη οι συντεταγμένες των κορυφών είναι $C(0,d),\,A(a,0),\, B(b,2d)$ . H συνθήκη καθετότητας $CA\perp AB$ μεταφράζεται από τους συντελεστες διεύθυνσης σε (b-a)a=2d^2

(άμεσο). Άρα $b= p+\frac {2d^2}{p}$ .

H υποτείνουσα ικανοποιεί CB^2=d^2+b^2

. Άρα γίνεται ελάχιστη όταν ελαχιστοποιηθεί το

. To τελευταίο είναι απλό αφού $b\ge 2 \sqrt { a \cdot \frac {2d^2}{a}} = 2\sqrt 2 d$ με ισότητα όταν $a=d\sqrt 2$ . Και λοιπά.

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 17, 2021 7:45 am Ελάχιστη υποτείνουσα.pngΜεταβλητό ορθογώνιο τρίγωνο έχει τις κορυφές σε δύο παράλληλες ευθείες

και την κορυφή πάνω στην μεσοπαράλληλή τους . Αν η απόσταση των ευθειών είναι ,

υπολογίστε το ελάχιστο μήκος της υποτείνουσας .

Αλλιώς. Με τους συμβολισμούς του σχήματος τα τρίγωνα ADC, AEB

είναι όμοια, άρα $\displaystyle \frac{d}{{AE}} = \frac{x}{{2d}} \Leftrightarrow AE = \frac{{2{d^2}}}{x}$

: Ελάχιστη υποτείνουσα1.png (11.68 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές

$\displaystyle B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = {x^2} + {d^2} + 4{d^2} + {\left( {\frac{{2{d^2}}}{x}} \right)^2} = {\left( {x - \frac{{2{d^2}}}{x}} \right)^2} + 9{d^2} \ge 9{d^2}$

Άρα, $\boxed{B{C_{\min }} = 3d}$ όταν $\boxed{x=d\sqrt 2}$

#4

Ας είναι $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ τα σημεία τομής της καθέτου από το

στις δύο παράλληλες .

Το τετράπλευρο KCAB

είναι εγγράψιμο σε κύκλο $\left( {O,R} \right)$ . Η απόσταση

από την «κάτω» παράλληλη είναι $\boxed{h = \frac{{3d}}{2} \leqslant R}$ .

: Ελάχιστη υποτείνουσα karkar_Ανάλυση.png (19.56 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές

Για να πετύχω την πιο μικρή υποτείνουσα αρκεί $\boxed{h = R}$ .

Τότε ο κύκλος εφάπτεται στην «κάτω» παράλληλη και διέρχεται από τα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$

( Πρώτο πρόβλημα Απολλωνίου $\left( {\Sigma \Sigma {\rm E}} \right)$ ).

Προφανώς $\boxed{B{C_{\min }} = 2h = 3d}$ .

: Ελάχιστη υποτείνουσα karkar.png (12.35 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

nickchalkida · #5

Εφόσον τα

,

(που ορίζουν διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου) ευρίσκονται επί των παραλλήλων (h)

,

,
το κέντρο του περιγεγραμμένου ευρίσκεται στην μεσοπαράλληλο (p)

των

,

.
Τότε ο ελάχιστος κύκλος που μπορούμε να γράψουμε (ελάχιστη υποτείνουσα) και να ικανοποιεί το πρόβλημα
είναι αυτός που εφάπτεται στην (f)

, και θα είναι

$\displaystyle{ BC_{min} = 2 \cdot OC = 2 \cdot OA = 3d }$

(Όταν έγραφα δεν είχα δεί ότι είχα την ίδια προσέγγιση με τον Νίκο)

Ελάχιστη υποτείνουσα

Ελάχιστη υποτείνουσα

Re: Ελάχιστη υποτείνουσα

Re: Ελάχιστη υποτείνουσα

Re: Ελάχιστη υποτείνουσα

Re: Ελάχιστη υποτείνουσα

Μέλη σε σύνδεση