Ελάχιστη διαδρομή 11
Ελάχιστη διαδρομή 11
Β) Τμήμα , μήκους , ολισθαίνει έχοντας τα άκρα του στις ευθείες και .
Υπολογίστε - με δύο τουλάχιστον τρόπους - το ελάχιστο της διαδρομής : .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ελάχιστη διαδρομή 11
Ας δώσω αλγεβρική λύση αλλά υπάρχει και ωραία γεωμετρική.
α) Η εξίσωση γράφεται . Υψώνοντας στο τετράγωνο είναι
, άρα από όπου (με διάφορους τρόπους) ή . Με έλεγχο στην αρχική, κτατάμε την δεύτερη.
β) Αν , το δίνει . Και θέλουμε το ελάχιστο του ή αλλιώς του .
Με χρήση της η παράσταση αυτή γράφεται
.
Έχει ακρότατο όταν μηδενίζεται η παράγωγός της, εδώ . Αλλά αυτή ισοδυναμεί με την εξίσωση στο α). Τα υπόλοιπα είναι ρουτίνα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ελάχιστη διαδρομή 11
Ας δούμε και γεωμετρική λύση, αλλά χωρίς τις πράξεις. Πάντως γραφικά η λύση είναι λακωνική αλλά πλήρης.
Μεταφέρουμε το με παράλληλη μετατόπιση στην θέση , οπότε σχηματίζεται ένα παραλληλόγραμμο του οποίου οι κορυφές είναι δεδομένες. Επειδή , το πρόβλημά μας ανάγεται στην εύρεση της ελάχιστης διαδρομής . Αλλά αυτή είναι η ευθεία .
Μεταφέρουμε το με παράλληλη μετατόπιση στην θέση , οπότε σχηματίζεται ένα παραλληλόγραμμο του οποίου οι κορυφές είναι δεδομένες. Επειδή , το πρόβλημά μας ανάγεται στην εύρεση της ελάχιστης διαδρομής . Αλλά αυτή είναι η ευθεία .
- Συνημμένα
-
- elaxisti diadromi.png (16.62 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ελάχιστη διαδρομή 11
Αλλιώς για το Α) Αρχικά είναι και Κατασκευάζω ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές και έστω το μέσο του και
σημείο της πλευράς ώστε Προφανώς,
Από την προκύπτει ότι άρα το είναι μέσο του οπότε
- nickchalkida
- Δημοσιεύσεις: 312
- Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
- Επικοινωνία:
Re: Ελάχιστη διαδρομή 11
Επειδή , το πρόβλημα ισοδυναμεί
αλλα και , άρα ζητάμε ελαχιστοποίηση για το
Το πρόβλημα τότε μετασχηματίζεται σαν πρόβλημα αντανάκλασης ακτίνας φωτός όπως αυτή που φαίνεται στο σχήμα.
Η γεωμετρική επίλυση του προβλήματος δεικνύει ότι το ελάχιστο επιτυγχάνεται όταν
αλλα και , άρα ζητάμε ελαχιστοποίηση για το
Το πρόβλημα τότε μετασχηματίζεται σαν πρόβλημα αντανάκλασης ακτίνας φωτός όπως αυτή που φαίνεται στο σχήμα.
Η γεωμετρική επίλυση του προβλήματος δεικνύει ότι το ελάχιστο επιτυγχάνεται όταν
- Συνημμένα
-
- rsz_mindis11.png (110.29 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές
Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες