Κλασματικά μέρη, υπόλοιπα και κυβικές ρίζες

Al.Koutsouridis · #1

Ο φυσικός αριθμός

δίνει υπόλοιπο

με την διαίρεση με το

. Να αποδείξετε την ανισότητα $\left \{ \sqrt[3]{n} \right \} \geq \dfrac{1}{\sqrt[3]{n^2}}$ .
Με $\left \{x \right \}$ συμβολίζουμε το κλασματικό μέρος του αριθμού

. $\left \{x \right \} =x-[x]$ , όπου [x]

το ακέραιο μέρος του αριθμού

.

#2

Έστω $k = [\sqrt[3]{n}]$ . Πρέπει $k^3 \equiv 0,1,8 \bmod 9$ και αφού $k^3 \leqslant n \equiv 4 \bmod 9$ , τότε $k^3 \leqslant n-3$ . Επομένως

$\displaystyle k^3 \leqslant n-3 < n-3 + \frac{3n-1}{n^2} = \frac{n^3 - 3n^2+3n-1}{n^2} = \frac{(n-1)^3}{n^2}$

Άρα

$\displaystyle \left\{ \sqrt[3]{n} \right\} = \sqrt[3]{n} - k > \sqrt[3]{n} - \frac{n-1}{\sqrt[3]{n^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}.$

Κλασματικά μέρη, υπόλοιπα και κυβικές ρίζες

Κλασματικά μέρη, υπόλοιπα και κυβικές ρίζες

Re: Κλασματικά μέρη, υπόλοιπα και κυβικές ρίζες

Μέλη σε σύνδεση