Ώρα εφαπτομένης 112

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 112.png (5.43 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

Αξιοποιώντας το λήμμα του Κώστα Βήττα αυτό :

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

του σχήματος , υπολογίστε την $\tan\phi$ , συναρτήσει της $\tan\theta$ .

Δύο εφαρμογές : Μία του λήμματος ( $\tan\theta=\dfrac{1}{2}$ ) και μία του ... σχήματος ( $\tan\theta=\dfrac{1}{3}$ ) .

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 24, 2021 7:02 am Ώρα εφαπτομένης 112.pngΑξιοποιώντας το λήμμα του Κώστα Βήττα αυτό :

Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε την $\tan\phi$ , συναρτήσει της $\tan\theta$ .

Δύο εφαρμογές : Μία του λήμματος ( $\tan\theta=\dfrac{1}{2}$ ) και μία του ... σχήματος ( $\tan\theta=\dfrac{1}{3}$ ) .

: Ώρα εφαπτομένης.112.png (11.14 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

$\displaystyle \tan (45^\circ + \varphi ) = \cot \theta = \frac{1}{{\tan \theta }} \Leftrightarrow \frac{{1 + \tan \varphi }}{{1 - \tan \varphi }} = \frac{1}{{\tan \theta }} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \varphi = \frac{{1 - \tan \theta }}{{1 + \tan \theta }}}$

Και για τις εφαρμογές είναι $\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}$ αντίστοιχα.

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 24, 2021 7:02 am Ώρα εφαπτομένης 112.pngΑξιοποιώντας το λήμμα του Κώστα Βήττα αυτό :

Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε την $\tan\phi$ , συναρτήσει της $\tan\theta$ .

Δύο εφαρμογές : Μία του λήμματος ( $\tan\theta=\dfrac{1}{2}$ ) και μία του ... σχήματος ( $\tan\theta=\dfrac{1}{3}$ ) .

: Ώρα εφαπτομένης 112_a.png (27.01 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου

και Απολλώνιος κύκλος για κάθε σημείο, έστω

, του οποίου : $\boxed{\frac{{MC}}{{MB}} = \lambda \,\,,\,\,\lambda > 0}$ .

Ας είναι

το σημείο τομής του κύκλου αυτού με το ημικύκλιο. Προφανώς $\boxed{\frac{{AC}}{{AB}} = \lambda \,\,\left( 1 \right)}$ .

Αν

σημείο του

για το οποίο $\dfrac{{EC}}{{EB}} = \lambda$ , η

θα είναι διχοτόμος του ορθογωνίου $\vartriangle ABC$ .

Το αρμονικό συζυγές , έστω ${C_1}$ , του

ως προς τα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ θα είναι το αντιδιαμετρικό του

στον πιο πάνω Απολλώνιο κύκλο .

Γράφω τώρα τον κύκλο $\left( {A,E,B} \right)$ και τέμνει την

στο

θα είναι προφανώς $\boxed{\widehat {SBC} = 45^\circ }$

α) Ας υποθέσω ότι $\boxed{\lambda = 2}$ , τότε : $AC = 2AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\tan \theta = \frac{1}{2}$ , αν θέσω λοιπόν $BE = k \Rightarrow CE = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,B{C_1} = 3k$ .

Τα ορθογώνια τρίγωνα , $AE{C_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ASB$ έχουν στα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ τις γωνίες ίσες και άρα είναι όμοια,

με συνέπεια : $\boxed{\frac{{AB}}{{AS}} = \frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{B{C_1}}}{{BE}} = \frac{{3k}}{k} = 3 \Rightarrow AB = 3AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\tan \phi = \frac{1}{3}}$ .

β) Αν $\boxed{\lambda = 3}$ θα είναι : $\boxed{\tan \theta = \frac{1}{3},AB = 2AS\,\,,\,\,\tan \phi = \frac{1}{2}}$

: Ώρα εφαπτομένης 112_b.png (26.97 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές

Παρατήρηση : Από τα παραπάνω έχω και την απάντηση του λήμματος του, φίλου Κώστα Βήττα πιο γενικά .

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 24, 2021 7:02 am Ώρα εφαπτομένης 112.pngΑξιοποιώντας το λήμμα του Κώστα Βήττα αυτό :

Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε την $\tan\phi$ , συναρτήσει της $\tan\theta$ .

Δύο εφαρμογές : Μία του λήμματος ( $\tan\theta=\dfrac{1}{2}$ ) και μία του ... σχήματος ( $\tan\theta=\dfrac{1}{3}$ ) .

Χωρίς να λύσουμε εξίσωση. Απλά κάνουμε χρήση του γεγονότος ότι $\theta = 90-( 45 +\phi)$ , ισοδύναμα $\phi = 45-\theta$ :

$\tan \phi = \tan (45-\theta ) = \dfrac {1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$ . Τελειώσαμε.

Για την εφαρμογή, αν αντί για 1/3

έχουμε

, θα βγάλει $\dfrac {1-a}{1+a}$ και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ. Πράγμα που αιτιολογεί την "σύμπτωση" ότι το 1/3

έβγαλε

, και αντίστροφα.

Ώρα εφαπτομένης 112

Ώρα εφαπτομένης 112

Re: Ώρα εφαπτομένης 112

Re: Ώρα εφαπτομένης 112

Re: Ώρα εφαπτομένης 112

Μέλη σε σύνδεση