Συστημένη πρόοδος

#1

: Συστημένη πρόοδος.png (9.38 KiB) Προβλήθηκε 1162 φορές

Οι πλευρές AB, AC, BC

τριγώνου

είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου. Επί της

θεωρώ τα σημεία

ώστε

και

Αν $D\widehat AE=30^\circ,$ να δείξετε ότι τα μήκη των

τμημάτων DE, BD, EC

είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

#2

george visvikis έγραψε: Τετ Φεβ 02, 2022 11:52 am
Οι πλευρές τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου. Επί της

θεωρώ τα σημεία ώστε και Αν $D\widehat AE=30^\circ,$ να δείξετε ότι τα μήκη των

τμημάτων είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

Γιώργο καλησπέρα.
Όμορφη η άσκηση αυτή που συνδυάζει τόσο όμορφα
την αριθμητική με τη γεωμετρική πρόοδο!!

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Αριθμητική και Γεωμετρική πρόοδος 1.png (16.61 KiB) Προβλήθηκε 1089 φορές

Θεωρούμε την αριθμητική πρόοδο των πλευρών $\displaystyle{a,b,c}$ έτσι ώστε να ισχύει η σχέση:

$\displaystyle{a+c=2b\ \ (1)}$

Από το ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{ABE}$ προκύπτει:

$\displaystyle{\omega =30^o+x=C+y \Rightarrow C=30^o+(x-y) \ \ (2)}$

Όμοια από το ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{ADC}$ προκύπτει:

$\displaystyle{\phi =30^o+y=B+x \Rightarrow B=30^o+(y-x) \ \ (3)}$

Από τις (2) και (3) εύκολα συμπεραίνεται:

$\displaystyle{B+C=60^o \ \ (4) }$

και

$\displaystyle{x+y=90^o \ \ (5)}$

Από την (4) προκύπτει τέλος ότι:

$\displaystyle{A=120^o \ \ (6)}$

Ακόμα σημειώνουμε από το σχήμα

$\displaystyle{a=m+n+t, \ \ b=m+t,\ \ c=m+n \ \ (7)}$

Από την (7) και την (1) εύκολα προκύπτει:

$\displaystyle{t=2n \ \ (8)}$

Αν τώρα εφαρμόσουμε το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$

θα έχουμε:

$\displaystyle{BC^2=AB^2+AC^2-2(AB)(AC)cos(120^o) \ \ (9)}$

Έτσι από την (9) αν αντικαστήσουμε τις πλευρές από την (7)

και λάβουμε υπόψη μας τηνς (8), τότε θα προκύψει μετά από πράξεις ότι:

$\displaystyle{ m=\frac{n}{2} \ \ (10)}$

Άρα οι σχέσεις (8) και (10) δηλώνουν ότι τα μεγέθη:

$\displaystyle{m,n,2n}$ αποτελούν γ.πρόοδο με λόγο ίσο με $\displaystyle{l=2}$ .

Κώστας Δόρτσιος

ΥΓ. Το ανωτέρω σχήμα είναι κατασκευασμένο έτσι ώστε να πληροί όλα τα δεδομένα.

#3

george visvikis έγραψε: Τετ Φεβ 02, 2022 11:52 am Συστημένο εμβαδόν.png
Οι πλευρές τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου. Επί της

θεωρώ τα σημεία ώστε και Αν $D\widehat AE=30^\circ,$ να δείξετε ότι τα μήκη των

τμημάτων είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

Αν θέσω $AC = x\,$ και τη διαφορά της προόδου k > 0

θα είναι : $AB = x - k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = x + k$ , όπως φαίνεται στο σχήμα .

: Συστημένη πρόοδος_1.png (12.4 KiB) Προβλήθηκε 1065 φορές

Θέτω τώρα

και φέρνω από τα $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ παράλληλες στις $AE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ που τέμνουν τις $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ στα $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ .

Προφανές ότι τα τετράπλευρα $SDEA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ADET$ είναι ισοσκελή τραπέζια με μήκη

: Συστημένη πρόοδος_Ανάλυση.png (26.21 KiB) Προβλήθηκε 1065 φορές

των μη παραλλήλων πλευρών τους ίσα με $u = x - 2k\,\,(1)$ και τα σημεία , A,S,D,E,T

ομοκυκλικά .

Έτσι αβίαστα προκύπτει ότι $\boxed{\widehat {BAC} = 120^\circ }$ οπότε από το Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$ έχω : $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} + AB \cdot AC$ δηλαδή ,

${\left( {3k + u} \right)^2} = {\left( {k + u} \right)^2} + {\left( {2k + u} \right)^2} + \left( {k + u} \right)\left( {2k + u} \right)$ απ’ όπου $\boxed{u = \frac{k}{2}}$ , άρα

$B{D^2} = DE \cdot EC \Leftrightarrow \boxed{{k^2} = \frac{k}{2} \cdot 2k}$ που αληθεύει πάντα.

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό βράδυ. Μόνο για την απόδειξη ότι $\widehat{BAC}=120^o$ , λίγο διαφορετικά.

: 3-1 συστημένη πρόοδος.png (122.5 KiB) Προβλήθηκε 1018 φορές

Οι

είναι ύψη και διχοτόμοι στα ισοσκελή και .

Έτσι το

έγκεντρο άρα $\widehat{BIC}=90^o+\widehat{BAC}/2$ ενώ $\widehat{BIC}=\widehat{MIN}=180^o-\widehat{DAE}=150^o$ .

Απ' αυτές προκύπτει $\widehat{BAC}=120^o$ . Η συνέχεια έχει καλυφθεί. Φιλικά, Γιώργος.

#5

Αφού ευχαριστήσω τον Κώστα, τον Νίκο και τον Γιώργο για τις λύσεις τους, να πω δυο λόγια για την άσκηση. Η άσκηση κατασκευάστηκε στηριζόμενη στην εξής παρατήρηση:

: Παρατήρηση.png (9.46 KiB) Προβλήθηκε 984 φορές

Σε κάθε τρίγωνο ABC

με

σημεία της

ώστε

ισχύει $\displaystyle D\widehat AE = 90^\circ - \frac{{\widehat A}}{2}.$

Η άσκηση ανέβηκε αρχικά με άλλο ζητούμενο (μάλλον κανείς δεν την είδε

), αλλά στη συνέχεια την διέγραψα και

ζήτησα τη γεωμετρική πρόοδο που μου φάνηκε ωραιότερη.

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλό μεσημέρι! Μιλάμε Γιώργο για την ίδια (σχεδόν) παρατήρηση με την πρόταση που έγραψα εδώ .

Η χρονική σειρά εμφάνισής τους δεν έχει σημασία...Αυτό που μ' ευχαριστεί είναι η "σύμπλευση νόων" μεταξύ μας !

#7

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Παρ Φεβ 04, 2022 1:37 pm Καλό μεσημέρι! Μιλάμε Γιώργο για την ίδια (σχεδόν) παρατήρηση με την πρόταση που έγραψα εδώ .

Η χρονική σειρά εμφάνισής τους δεν έχει σημασία...Αυτό που μ' ευχαριστεί είναι η "σύμπλευση νόων" μεταξύ μας !

Ακριβώς, Γιώργο.

Συστημένη πρόοδος

Συστημένη πρόοδος

Re: Συστημένη πρόοδος

Re: Συστημένη πρόοδος

Re: Συστημένη πρόοδος

Re: Συστημένη πρόοδος

Re: Συστημένη πρόοδος

Re: Συστημένη πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση