Νέα μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Νέα μεγιστοποίηση.png (10.2 KiB) Προβλήθηκε 704 φορές

Στην κάθετη πλευρά AC=b

, ορθογωνίου τριγώνου ABC

κινείται σημείο

.

Θεωρώ σημείο

της

, τέτοιο ώστε : $ST=\dfrac{SB}{5}$ . Η ημιευθεία

τέμνει

την υποτείνουσα

στο σημείο

. Υπολογίστε το $(PSB)_{max}$ . ( AB=c

)

Εφαρμογή : b=6 , c=9

, υπολογίστε και το

.

#2

Επιλέγω καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων όπως στο σχήμα .

Είναι $T\left( {b,\,4s} \right)$ , $AP \to y = \dfrac{{4s}}{b}x$ , $P:\,\,\left\{ \begin{gathered} \dfrac{x}{{5b}} + \dfrac{y}{{5c}} = 1 \hfill \\ y = \dfrac{{4s}}{b}x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow P\left( {\dfrac{{5bc}}{{4s + c}},\dfrac{{20cs}}{{4s + c}}} \right)$ .

: Νέα μεγιστοποίηση_Αναλυτική Γεωμετρία.png (17.75 KiB) Προβλήθηκε 647 φορές

Προκύπτουν : $\overrightarrow {SP} = \left( {\dfrac{{5bc}}{{4s + c}},\dfrac{{5s\left( {3c - 4s} \right)}}{{4s + c}}} \right)$ και $\overrightarrow {BP} = \left( {\dfrac{{ - 20bs}}{{4s + c}},\dfrac{{20cs}}{{4s + c}}} \right)$ .

$\left( {PSB} \right) = \dfrac{1}{2}|\det (\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {BP} )|$ και προκύπτει: η συνάρτηση :

$f(s) = \dfrac{{50s\left( {c - s} \right)}}{{4s + c}}$ και παρουσιάζει μέγιστο για ${s_0} = c\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{4}$ το

$f\left( {{s_0}} \right) = \dfrac{{25\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}{4}bc$ .

abgd · #3

: MAX.png (81.89 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές

Έστω

Από την ομοιότητα των τριγώνων SMT, SAB

έχουμε: $\frac{SM}{x}=\frac{TM}{c}=\frac{1}{5}$ οπότε: $SM=\frac{x}{5}, \ \ MT= \frac{c}{5}$

Από την ομοιότητα των τριγώνων CKP, CAB

έχουμε: $\frac{PK}{c}=\frac{CK}{b}}$ οπότε: $\bf {CK=\frac{PK\cdot b}{c}}$

Από την ομοιότητα των τριγώνων AKP, AMT

έχουμε: $\frac{PK}{MT}=\frac{AK}{AM}}$ οπότε: $\bf {AK=\frac{PK\cdot 4x}{c}}$

Προσθέτοντας τις δύο τελευταίες έχουμε: $\bf {PK=\frac{bc}{b+4x}}$

Έτσι το εμβαδόν του τριγώνου SRB

είναι:

$\bf{E(x)}=(ABC)-(ABS)-(CPS)= ... = \bf{\frac{2c\left(bx-x^2\right)}{b+4x}, \ \ x \in (0,b)}$

Με τη βοήθεια της παραγώγου παίρνουμε την τιμή του

για την οποία το E(x)

γίνεται μέγιστο.

Είναι

$\bf x=\frac{b(\sqrt{5}-1)}{4}$

και το μέγιστο εμβαδόν είναι:

$\bf E= bc\frac{3-\sqrt{5}}{4}$

Νέα μεγιστοποίηση

Νέα μεγιστοποίηση

Re: Νέα μεγιστοποίηση

Re: Νέα μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση