Πάτωμα

KARKAR · #1

: Πάτωμα.png (9.3 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές

Το τεταρτοκύκλιο έχει ακτίνα

. Το τμήμα QPT

είναι κάθετο προς την

και έχει μήκος

, όπως και

το OAS

. Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου PST

. Λύση χωρίς παράγωγο πριμοδοτείται .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 25, 2022 7:45 pm Πάτωμα.pngΤο τεταρτοκύκλιο έχει ακτίνα . Το τμήμα είναι κάθετο προς την και έχει μήκος , όπως και

το . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου . Λύση χωρίς παράγωγο πριμοδοτείται .

: Πάτωμα_oritzin.png (13.95 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές

Αν $OP = x\,\,,0 < x < 6$ και $PQ = y\,\,,\,0\, < y < 6$ θα είναι $PS = 8 - x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PT = 8 - y$ .

Επειδή ${x^2} + {y^2} = 36$ το εμβαδόν $\left( {PTS} \right) = E = f(x) = \dfrac{1}{2}\left( {8 - x} \right)\left( {8 - \sqrt {36 - {x^2}} } \right)$ .

Με παραγώγους έχω ότι η

παρουσιάζει ελάχιστο όταν $x = 4 - \sqrt 2$ είτε όταν $x = 4 + \sqrt 2$ και έχει τιμή

.

: Πάτωμα_all.png (36.36 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές

#3

Doloros έγραψε: Σάβ Μαρ 26, 2022 2:13 am Αν $OP = x\,\,,0 < x < 6$ και $PQ = y\,\,,\,0\, < y < 6$ θα είναι $PS = 8 - x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PT = 8 - y$ .

Επειδή ${x^2} + {y^2} = 36$ το εμβαδόν $\left( {PTS} \right) = E = f(x) = \dfrac{1}{2}\left( {8 - x} \right)\left( {8 - \sqrt {36 - {x^2}} } \right)$ .

Με παραγώγους έχω ότι η παρουσιάζει ελάχιστο όταν $x = 4 - \sqrt 2$ είτε όταν $x = 4 + \sqrt 2$ και έχει τιμή .

Το γεωμετρικό μέρος της άσκησης το έλυσα όπως ο Νίκος παραπάνω, αλλά μετά με απασχόλησε το δεύτερο μέρος όπου θέλουμε το ελάχιστο της παράστασης $\dfrac{1}{2}\left( {8 - x} \right)\left( {8 - \sqrt {36 - {x^2}} } \right)$ , χωρίς χρήση παραγώγων. Η έμπνευση ήλθε στον ... ύπνο χθές βράδυ. Ιδού:

Γενικότερα, θέλουμε το ελάχιστο της (a-x)(a-y)

(αφήνω τον συντελεστή $\dfrac {1}{2}$ ) με δεδομένο ότι x^2+y^2=R^2

. Έχουμε

$(a-x)(a-y)= a^2-ax-ay+xy = \dfrac {1}{2}( a^2 +x^2+y^2-2ax-2ay+2xy) + \dfrac {1}{2}(a^2-x^2-y^2) =$

$=\dfrac {1}{2}( a-x-y)^2+ \dfrac {1}{2}(a^2-R^2)\ge \dfrac {1}{2}(a^2-R^2)$

με ισότητα αν a-x-y=0

. H ισότητα είναι λοιπόν όταν (a-x)^2=y^2 = R^2-x^2

, ισοδύναμα 2x^2-2ax+a^2-R^2=0

ή αλλιώς $x= \dfrac {1}{2}(a\pm \sqrt {2R^2-a^2})$ .

Στην περίπτωσή μας το ελάχιστό του $\dfrac{1}{2}\left( {8 - x} \right)\left( {8 - \sqrt {36 - {x^2}} } \right )$ είναι $\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {1}{2}(a^2-R^2)= \dfrac {1}{4}(8^2-6^2)=7$ και συμβαίνει όταν $x= \dfrac {1}{2}(8\pm \sqrt {72-64}) = 4\pm \sqrt 2}.$

Πάτωμα

Πάτωμα

Re: Πάτωμα

Re: Πάτωμα

Μέλη σε σύνδεση