Ελαχιστοποίηση απόστασης

KARKAR · #1

: Ελαχιστοποίηση απόστασης.png (8.93 KiB) Προβλήθηκε 1128 φορές

Η γαλάζια δίκλαδη γραμμή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου με

την ιδιότητα : "Οι δύο συντεταγμένες τους έχουν ίδιο άθροισμα και γινόμενο" .

Ένα τέτοιο σημείο , το

, έχει τετμημένη

. Βρείτε σημείο

του άλλου κλάδου

της γραμμής , για το οποίο ελαχιστοποιείται το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 21, 2022 10:11 am Ελαχιστοποίηση απόστασης.pngΗ γαλάζια δίκλαδη γραμμή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου με

την ιδιότητα : "Οι δύο συντεταγμένες τους έχουν ίδιο άθροισμα και γινόμενο" .

Ένα τέτοιο σημείο , το , έχει τετμημένη . Βρείτε σημείο του άλλου κλάδου

της γραμμής , για το οποίο ελαχιστοποιείται το τμήμα .

edit: Άρση απόκρυψης, 1:53 μμ

Η λύση όπως του Μιχάλη και η απάντηση $\boxed{T\left( {\frac{1}{2}, - 1} \right)}$

Διόρθωση της απάντησης, 2:40 pm. Είχα γράψει το $\displaystyle S{T_{\min }} = \frac{{17\sqrt {17} }}{8}$ ως τεταγμένη του

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 21, 2022 10:11 am Η γαλάζια δίκλαδη γραμμή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου με

την ιδιότητα : "Οι δύο συντεταγμένες τους έχουν ίδιο άθροισμα και γινόμενο" .

Ένα τέτοιο σημείο , το , έχει τετμημένη . Βρείτε σημείο του άλλου κλάδου

της γραμμής , για το οποίο ελαχιστοποιείται το τμήμα .

O γεωμετρικός τόπος είναι τα σημεία M(x,y)

με

. Ισοδύναμα $y = 1+ \dfrac {1}{x-1}$ (ορθογώνια υπερβολή).

To

λοιπόν είναι S(9, 9/8)

και $ST^2= (9-t)^2+\left (\dfrac {9}{8}- \dfrac {t}{t-1}\right )^2 = \dfrac {(t-9)^2(64t^2-128t+65)}{64(t-1)^2}$

Με παραγώγιση βρίσκουμε το ζητούμενο. Δυστυχώς οι πράξεις είναι πάρα πολλές και δεν αξίζει να τις παραθέσω. Με λογισμικό πάντως βρήκα ότι η παράγωγος παραγοντοποιημένη είναι

$\displaystyle{ \dfrac {(t-9)(2t-1)(4t^2-10t+7)}{4(t-1)^3}}$

Όποιος θέλει, συνεχίζει. Ως άσκηση θα ήταν ίσως καλύτερο να έμενε μόνο στην εύρεση του γεωμετρικού τόπου γιατί τα υπόλοιπα είναι κοπιαστικά, χωρίς χρήση ιδεών.

Edit αργότερα: Γιώργο, γράφαμε παράλληλα. Το αφήνω.

KARKAR · #4

: MIN.png (10.71 KiB) Προβλήθηκε 1071 φορές

Ζητάμε το σημείο

. Ο αριθμός που γράφει ο Γιώργος είναι το ελάχιστο μήκος .

#5

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 21, 2022 1:56 pm MIN.png Ζητάμε το σημείο . Ο αριθμός που γράφει ο Γιώργος είναι το ελάχιστο μήκος .

Σωστά

(Το διόρθωσα).

#6

Για

έχουμε

$\displaystyle \displayystyle{(9-t)^2 + \left(\frac{9}{8} - \frac{t}{t-1}\right)^2 \geqslant \frac{\left(36 - 4t + \frac{9}{8} - \frac{t}{t-1} \right)^2}{4^2+1} = \frac{\left(36 +\frac{9}{8}-1 - \frac{(2t-1)^2}{t-1} \right)^2}{17} \geqslant \frac{(289/8)^2}{17} = \frac{17^3}{8^2}}$

Η ισότητα ισχύει για t=1/2

.

#7

Καλησπέρα σε όλους. Μετά τα ταχυδακτυλουργικά κόλπα του Δημήτρη (

) μια ακόμα προσέγγιση, ώστε η παραγώγιση να είναι ευκολότερη.

: Ελαχιστοποίηση απόστασης.png (8.93 KiB) Προβλήθηκε 952 φορές

Η μπλε γραμμή είναι η μεταφορά της $\displaystyle {C_f}$ , $\displaystyle f\left( x \right) = \frac{1}{x}$ μία μονάδα δεξιά και μία μονάδα πάνω.

Είναι $\displaystyle S\left( {9,\;\frac{9}{8}} \right)$ . Το αντίστοιχό της σημείο στη ${C_f}$ είναι το $\displaystyle S'\left( {8,\frac{1}{8}} \right)$ .

Αρκεί, λοιπόν, να εντοπίσουμε το ελάχιστο του τετραγώνου της απόστασης (

), που είναι $\displaystyle d^2 = {\left( {8 - t} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{t}} \right)^2},\;\;t < 0$

H συνάρτηση $\displaystyle f\left( t \right) = {\left( {8 - t} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{t}} \right)^2},\;\;t < 0$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( t \right) = \frac{{8{t^4} - 64{t^3} - t + 8}}{{4{t^3}}}$

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση $\displaystyle 8{t^4} - 64{t^3} - t + 8 = 0$ έχει προφανή ρίζα το

, οπότε με σχήμα Horner (ή παραγοντοποίηση), έχουμε

$\displaystyle 8{t^4} - 64{t^3} - t + 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 8} \right)\left( {8{t^3} + 1} \right) = 0$ με δεκτή ρίζα $\displaystyle t = - \frac{1}{2}$ .

Με τον πίνακα προσήμων παραγώγου, βρίσκουμε ότι είναι ελάχιστο.

Άρα η θέση ελαχίστου είναι $\displaystyle T'\left( { - \frac{1}{2}, - 2} \right)$ . Το ξαναφέρνουμε στη θέση του (μία μονάδα δεξιά και μία πάνω), οπότε $\displaystyle T\left( {\frac{1}{2},-1} \right)$ .

#8

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Τετ Ιουν 22, 2022 8:18 pm Καλησπέρα σε όλους. Μετά τα ταχυδακτυλουργικά κόλπα του Δημήτρη ( )

Ταχυδακτυλουργικό αφού

1) Απέκρυψα τα βήματά μου.
2) Αν και θα μπορούσα να το αποφύγω (θα δούμε πως) έκλεψα γνωρίζοντας την τελική απάντηση.

Ας δούμε το κόλπο λοιπόν.

Θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε την Cauchy-Schwarz για να βρούμε την ελάχιστη τιμή της

$\displaystyle (9-t)^2 + \left(\frac{9}{8} - \frac{t}{t-1}\right)^2$

για t < 1

. Στόχος είναι στο δεξί μέλος να απαλειφθεί το

αλλά αυτό θα το κάνουμε σταδιακά. Προς το παρόν, αφού δεν ξέρουμε στην περίπτωση της ισότητας πως σχετίζονται τα 9-t

και $\frac{9}{8} - \frac{t}{t-1}$ είμαστε αναγκασμένοι να πάμε με το

$\displaystyle (9-t)^2 + \left(\frac{9}{8} - \frac{t}{t-1}\right)^2 \geqslant \frac{\left(9r-tr+\frac{9}{8} - \frac{t}{t-1} \right)^2}{r^2+1} = \frac{\left(9r-tr+\frac{1}{8} - \frac{1}{t-1} \right)^2}{r^2+1}$

για κάποιο r > 0

.

Ας σημειώσουμε για τη συνέχεια ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $\frac{9-t}{r} = \frac{9}{8} - \frac{t}{t-1}$ .

Θέλουμε τώρα να εξαφανίσουμε το

από τον αριθμητή, άρα ψάχνουμε μια ανισότητα της μορφής $-tr - \frac{1}{t-1} \geqslant C$ . Θα μπορούσαμε να παραγωγίσουμε τώρα αλλά θα το αποφύγω.

Ας θέσω x = 1-t

ώστε να εργαστώ στη διάστημα x > 0

. Τότε έχω

$\displaystyle -tr - \frac{1}{t-1} = r(x-1) + \frac{1}{x} = rx + \frac{1}{x} - r \geqslant 2\sqrt{r}-r$

με ισότητα αν και μόνο αν $x = 1/\sqrt{r}$ , δηλαδή αν και μόνο αν $t = 1 - \frac{1}{\sqrt{r}}$ . Ισοδύναμα, αν και μόνο αν $r = \frac{1}{(t-1)^2}$ .

Καταλήγω στην

$\displaystyle (9-t)^2 + \left(\frac{9}{8} - \frac{t}{t-1}\right)^2 \geqslant \frac{\left(9r+\frac{1}{8} + 2\sqrt{r}-r \right)^2}{r^2+1}$

Για να ισχύουν ταυτόχρονα οι δύο ισότητες χρειάζομαι

$\displaystyle \displaystyle{\frac{9}{8} - \frac{t}{t-1} = \frac{9-t}{r} = (9-t)(t-1)^2 \iff \frac{t-9}{8(t-1)} = (9-t)(t-1)^2 \iff (t-1)^3 = -\frac{1}{8} \iff t = \frac{1}{2}}$

Σε αυτήν την περίπτωση r=4

και καταλήγουμε στην προηγούμενη λύση της μίας γραμμής.

Για να μείνει σε μία γραμμή, στην μεγιστοποίηση του $36 - 4t + \frac{9}{8} - \frac{t}{t-1}$ απέφυγα την αλλαγή μεταβλητής σε

, έγραψα το μέγιστο το οποίο γνώριζα ότι ήταν το $36 +\frac{9}{8}-1$ και βρήκα τι έπρεπε να προσθέσω το οποίο αναγκαστικά θα ήταν μη αρνητικό. Θα ήταν ασφαλώς μια ρητή συνάρτηση του

η οποία θα μηδενιζόταν στο t=1/2

με αριθμητή βαθμού 2 και παρονομαστή βαθμού 1 οπότε θα προέκυπτε άμεσα ότι θα ήταν όντως μη αρνητικό.

Ελαχιστοποίηση απόστασης

Ελαχιστοποίηση απόστασης

Re: Ελαχιστοποίηση απόστασης

Re: Ελαχιστοποίηση απόστασης

Re: Ελαχιστοποίηση απόστασης

Re: Ελαχιστοποίηση απόστασης

Re: Ελαχιστοποίηση απόστασης

Re: Ελαχιστοποίηση απόστασης

Re: Ελαχιστοποίηση απόστασης

Μέλη σε σύνδεση