Τόπος βαρυκέντρου ( συνέχεια )

KARKAR · #1

: Τόπος βαρυκέντρου συνέχεια.png (25.08 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές

Στο καρτεσιανό επίπεδο θεωρούμε το σημείο P(p,a) , ( p , a>0)

. ( Εφαρμογή : a=2 )

Σημείο

κινείται στην ευθεία x=-a

και σημείο

στην

, ώστε : $PS\perp ST$ .

Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του βαρυκέντρου του τριγώνου PST

είναι παραβολή και

υπολογίστε το

, ώστε η κορυφή της παραβολής να συμπίπτει με την αρχή των αξόνων .

vgreco · #2

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 23, 2022 7:56 pm Στο καρτεσιανό επίπεδο θεωρούμε το σημείο . ( Εφαρμογή :

Σημείο κινείται στην ευθεία και σημείο στην , ώστε : $PS\perp ST$ .

Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του βαρυκέντρου του τριγώνου είναι παραβολή και

υπολογίστε το , ώστε η κορυφή της παραβολής να συμπίπτει με την αρχή των αξόνων .

: barycenter.png (110.76 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Παρόμοια με την απάντηση του κ. Νίκου εδώ.

Οι συντεταγμένες των σημείων φαίνονται στο σχήμα. Αφού $PS \perp ST$ , πρέπει το γινόμενο των εφαπτομένων των φορέων τους να είναι

:

$\displaystyle{ \dfrac{n - a}{p + a} \cdot \dfrac{n + a}{m + a} = -1 \Leftrightarrow n^2 + m(a + p) + ap = 0 }$

Τώρα, για τα σημεία του γεωμετρικού τόπου ισχύει:
$\displaystyle{ \begin{cases} x = \dfrac{p - a + m}{3} \hfill \\ y = \dfrac{n - a + a}{3} \hfill \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m = 3x + a - p \hfill \\ n = 3y \hfill \end{cases} }$

Συνδυάζοντας τα παραπάνω, παίρνω:

$\displaystyle{ 9y^2 + (3x + a - p)(a + p) + ap = 0 \Leftrightarrow 9y^2 + 3(a + p)x + a^2 - p^2 + ap = 0 }$

που είναι παραβολή της μορφής y^2 = Ax + C

, άρα η κορυφή της βρίσκεται στον άξονα

.

Τώρα, επειδή το O(0, 0)

ανήκει στην παραβολή, θα είναι και η κορυφή της. Για x = y = 0

, η παραπάνω σχέση γράφεται:

$\displaystyle{ a^2 - p^2 + ap = 0 \Leftrightarrow p^2 - ap - a^2 = 0 }$

Λύνω τη δευτεροβάθμια ως προς

: έχει ρίζες για κάθε a > 0

τις $p = \dfrac{a \pm a \sqrt{5}}{2}$ και επειδή p > 0

, υποχρεωτικά:

$\displaystyle{ p = a \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} \Leftrightarrow \boxed{p = a \cdot \Phi} }$

Τόπος βαρυκέντρου ( συνέχεια )

Τόπος βαρυκέντρου ( συνέχεια )

Re: Τόπος βαρυκέντρου ( συνέχεια )

Μέλη σε σύνδεση