Εξάρες

KARKAR · #1

: Εξάρες.png (10.88 KiB) Προβλήθηκε 818 φορές

Από το σημείο

της προέκτασης της διαμέτρου

, φέρουμε την μεταβλητή τέμνουσα SPT

. Υπολογίστε το : $(TAP)_{max}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 09, 2023 8:50 pm Εξάρες.pngΑπό το σημείο της προέκτασης της διαμέτρου , φέρουμε την μεταβλητή τέμνουσα . Υπολογίστε το : $(TAP)_{max}$ .

Έστω

η προβολή του

στη διάμετρο και AD=x.

Τότε $\displaystyle (ATS) = 6TD = 6\sqrt {x(6 - x)} .$

$\displaystyle SP \cdot ST = 72 \Leftrightarrow \frac{{PT}}{{ST}} = \frac{{ST - SP}}{{ST}} = \frac{{S{T^2} - 72}}{{S{T^2}}}$ και $\displaystyle S{T^2} = x(6 - x) + {(12 - x)^2} = 18(8 - x)$

: Εξάρες.ΚΑ.png (14.35 KiB) Προβλήθηκε 777 φορές

Άρα, $\displaystyle \frac{{PT}}{{ST}} = \frac{{4 - x}}{{8 - x}}.$ Αλλά, $\displaystyle \frac{{PT}}{{ST}} = \frac{{(TAP)}}{{(ATS)}} = \frac{{(TAP)}}{{6\sqrt {x(6 - x)} }}$

Έχω λοιπόν τη συνάρτηση $\displaystyle f(x) = (TAP) = \frac{{6(4 - x)\sqrt {x(6 - x)} }}{{8 - x}},0 \leqslant x \leqslant 6,$ όπου με τη

βοήθεια παραγώγων βρίσκω ότι έχει μέγιστη τιμή $\boxed{ {(TAP)_{\max }} = 6}$ όταν $\boxed{ x = \frac{{7 - \sqrt {17} }}{2}}$

nickchalkida · #3

Επειδή το μέγιστο εγγεγραμμένο ορθογώνιο σε σταθερό κύκλο είναι το εγγεγραμμένο σε αυτόν τετράγωνο

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & {(ATP) \over (TCP)} = {AN \over MC} = {AS \over CS} = {4 \over 3} \cr & (TCP) = {1 \over 4} (TPGH) \leq {9 \over 2} \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow (ATP)={4 \over 3}(TCP) \leq {4 \over 3}{9 \over 2}=6 }$

#4

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 09, 2023 8:50 pm Εξάρες.pngΑπό το σημείο της προέκτασης της διαμέτρου , φέρουμε την μεταβλητή τέμνουσα . Υπολογίστε το : $(TAP)_{max}$ .

Παρεμφερές με την ωραία λύση , του

Έστω ότι κατάφερα να βρω την τέμνουσα που κάνει μέγιστο το $\left( {ATP} \right)$ .

Ας είναι

το κέντρο του ημικυκλίου ,

το ύψος του TAP

και

το μέσο της χορδής

.

Θέτω: $AZ = k\,\,,\,\,OM = d\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TP = x$ . Τα $\vartriangle ATP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle OAP$ έχουν κοινή βάση TP = x

, συνεπώς :

: Εξάρες_Ανάλυση.png (29.75 KiB) Προβλήθηκε 685 φορές

$\dfrac{{\left( {APT} \right)}}{{\left( {OPT} \right)}} = \dfrac{{AZ}}{{OM}} = \dfrac{{12}}{9} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \left( {APT} \right) = \dfrac{4}{3}\left( {OPT} \right)\,\,\left( 1 \right)$

Δηλαδή το $\left( {ATP} \right)$ γίνεται μέγιστο όταν το $\left( {OTP} \right)$ γίνει μέγιστο . Αλλά

$\left( {OTP} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3\sin 2\theta \leqslant \dfrac{9}{2}\sin 90^\circ = \dfrac{9}{2}\,\,\left( 2 \right)$ και άρα $\boxed{{{\left( {ATP} \right)}_{\max }} = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{9}{2} = 6}$ .

Για να πετύχω αυτό αρκεί να φέρω από το

εφαπτομένη στον κύκλο , $\left( {O,\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}} \right)$ .

: Εξάρες_new.png (27.65 KiB) Προβλήθηκε 685 φορές

Εξάρες

Εξάρες

Re: Εξάρες

Re: Εξάρες

Re: Εξάρες

Μέλη σε σύνδεση