Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων

KARKAR · #1

: Άθροισμα τετραγώνων.png (16.32 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές

Στη διάμετρο AB=2r

, ενός ημικυκλίου , κινείται σημείο

. Στο ίδιο ημιεπίπεδο σχεδιάζουμε το ημικύκλιο

διαμέτρου

, προς το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

. Βρείτε το ελάχιστο του : AT^2+BT^2

.

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Δεκ 29, 2023 9:20 am Άθροισμα τετραγώνων.pngΣτη διάμετρο , ενός ημικυκλίου , κινείται σημείο . Στο ίδιο ημιεπίπεδο σχεδιάζουμε το ημικύκλιο

διαμέτρου , προς το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Βρείτε το ελάχιστο του : .

Έστω

και $TD\bot AB.$ Οι TS, TA

είναι η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος αντίστοιχα της γωνίας $D\widehat TB.$ Άρα:

: Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων.Κ.png (16.55 KiB) Προβλήθηκε 502 φορές

$\displaystyle \frac{{AD}}{{2r}} = \frac{{DS}}{x} = \frac{{2r - AD - x}}{x} \Leftrightarrow AD = \frac{{2r(2r - x)}}{{2r + x}}$

Εξάλλου, $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} A{T^2} = AD(2r - x) \hfill \\ T{B^2} = 2rx \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow A{T^2} + B{T^2} = \frac{{2r{{(2r - x)}^2}}}{{2r + x}} + 2rx,$ απ' όπου

$\displaystyle f(x) = A{T^2} + B{T^2} = \frac{{4r}}{{2r + x}}({x^2} - rx + 2{r^2}),$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω

$\boxed {{(A{T^2} + B{T^2})_{\min }} = 4{r^2}(4\sqrt 2 - 5)}$ όταν $\boxed{x=2r(\sqrt 2-1)}$

Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων

Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων

Re: Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων

Μέλη σε σύνδεση