Ώρα εφαπτομένης 176

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 176.png (11.44 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές

Για την διχοτόμο

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, ισχύει : $CD^2=AD\cdot DB$ . Υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 07, 2024 8:26 am
Για την διχοτόμο του ορθογωνίου τριγώνου , ισχύει : $CD^2=AD\cdot DB$ . Υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

: 2024-05-07_08-42-58.png (43.59 KiB) Προβλήθηκε 742 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 07, 2024 8:26 am
Ώρα εφαπτομένης 176.pngΓια την διχοτόμο του ορθογωνίου τριγώνου , ισχύει : $CD^2=AD\cdot DB$ . Υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

$\displaystyle \tan \theta = \frac{b}{{AD}} = \frac{b}{{\frac{{bc}}{{a + b}}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \frac{{a + b}} {c}}$ (1)

: Εφ-176.png (7.86 KiB) Προβλήθηκε 737 φορές

$\displaystyle C{D^2} = ab - AD \cdot DB = AD \cdot DB \Leftrightarrow ab = 2\frac{{bc}}{{a + b}} \cdot \frac{{ac}}{{a + b}} \Leftrightarrow \frac{{{{(a + b)}^2}}}{{{c^2}}} = 2\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{\tan\theta=\sqrt 2}$

Με πρόλαβε ο Μιχάλης. Το αφήνω.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: $\displaystyle \tan C = 4\tan \frac{C}{2}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 07, 2024 8:26 am
Ώρα εφαπτομένης 176.pngΓια την διχοτόμο του ορθογωνίου τριγώνου , ισχύει : $CD^2=AD\cdot DB$ . Υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

$AD.DB=CD.DE\Rightarrow CD^2=CD.CE \Rightarrow DE=CD \Rightarrow EM=b$ και προφανώς $AD= \dfrac{c}{4}$

$tan \theta = \dfrac{AC}{AD}= \dfrac{BM}{ME} \Rightarrow \dfrac{b}{ \dfrac{c}{4} }= \dfrac{ \dfrac{c}{2} }{b} \Rightarrow tan \theta = \dfrac{b}{ \dfrac{c}{4} } = \sqrt{2}$

: ώρα εφαπτομένης 176.png (16.47 KiB) Προβλήθηκε 720 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 07, 2024 8:26 am
Ώρα εφαπτομένης 176.pngΓια την διχοτόμο του ορθογωνίου τριγώνου , ισχύει : $CD^2=AD\cdot DB$ . Υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Επειδή ζητώ τριγωνομετρικό αριθμό, θεωρώ μονάδα μέτρησης των ευθυγράμμων τμημάτων το AD = 1

.

Θέτω , $DB = x\,\,,\,\,AC = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = a$ , γράφω δε τον κύκλο διαμέτρου

, τον οποίο η

τον τέμνει ακόμα στο

Ακόμα έστω

το άλλο σημείο τομής του κύκλου με την

. Προφανώς $DE = DA = 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE = CA = y$ .

Επειδή το τετράπλευρο ASBC

είναι εγγράψιμο , από υπόθεση και από Θ. Διχοτόμου στο $\vartriangle ABC$ , Ισχύουν ταυτόχρονα :

: Ωρα ςφαπτομένης 176_b.png (31.19 KiB) Προβλήθηκε 627 φορές

$\left\{ \begin{gathered} DC \cdot DS = DA \cdot DB\,\,\, \hfill \\ D{C^2} = DA \cdot DB\,\,\, \hfill \\ \frac{{CB}}{{CA}} = \frac{{DB}}{{DA}}\,\,\, \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} DC \cdot DS = D{C^2}\,\,\, \hfill \\ C{D^2} = DA \cdot DB\, \hfill \\ \frac{{CB}}{{CA}} = \frac{{DB}}{{DA}}\,\,\, \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} DS = DC\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\, \hfill \\ C{D^2} = x\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \frac{a}{y} = x\,\,\,\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Όμως $CE \cdot CA = CD \cdot CS \Rightarrow ay = 2C{D^2} = 2x$

και λόγω της $\left( 3 \right)$ ${y^2}x = 2x \Rightarrow \boxed{y = \sqrt 2 = \tan \theta }$ .

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 07, 2024 8:26 am
Ώρα εφαπτομένης 176.pngΓια την διχοτόμο του ορθογωνίου τριγώνου , ισχύει : $CD^2=AD\cdot DB$ . Υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Εστω $BM\perp AD$ , $MJ\perp AB,$

Τα τρίγωνα AED,DMJ

είναι ίσα και

$JM=AE=y,\hat{\theta }=\hat{AED}=\hat{DMJ},$

Απο μετρικές σχέσεις στο τρίγωνο $AED,CD^{2}=y(y+b),(1),$

Από θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο ACB

$ADB,CD^{2}=AD.DB\Rightarrow CD^{2}=\dfrac{abc^{2}}{(a+b)^{2}},(2), MJ//AC\Rightarrow y=b.\dfrac{a-b}{a+b},(3), (1),(3)\Rightarrow CD^{2}=b^{2}.\dfrac{2a}{a+b},(4), (2),(4)\Rightarrow a=3b,c=2\sqrt{2}b, tan\theta =\dfrac{AD}{y}=\dfrac{c}{a-b}=\sqrt{2}$

Ώρα εφαπτομένης 176

Ώρα εφαπτομένης 176

Re: Ώρα εφαπτομένης 176

Re: Ώρα εφαπτομένης 176

Re: Ώρα εφαπτομένης 176

Re: Ώρα εφαπτομένης 176

Re: Ώρα εφαπτομένης 176

Μέλη σε σύνδεση