Στριφνή ισότητα

KARKAR · #1

: Στριφνή ισότητα.png (6.14 KiB) Προβλήθηκε 769 φορές

Στο τρίγωνο του σχήματος , καλείστε να βρείτε σημεία S , T

των πλευρών BO , BA

αντίστοιχα ,
τέτοια ώστε : $\lambda _{ST}=\dfrac{1}{3}$ και : BS=TA

.
Προσπαθήστε τώρα να κάνετε το ίδιο , σε τυχόν τρίγωνο και τμήμα οποιασδήποτε διεύθυνσης

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Ιαν 13, 2025 11:17 am Προσπαθήστε τώρα να κάνετε το ίδιο , σε τυχόν τρίγωνο και τμήμα οποιασδήποτε διεύθυνσης .

To γενικό είναι αρκετά απλό αλλά έχει αρκετές πράξεις, γι' αυτό κάνω μόνο περιγραφή.

Τα σημεία είναι B(b_1,b_2), A(a,0)

με

γνωστά. Άρα οι πλευρές έχουν γνωστές εξισώσεις y=b_3x, y= a_1(x-a)

.

H

έχει εξίσωση y=lx+c

με

δεδομένο και

ζητούμενο. Εύκολα βρίσκουμε τις τομές της με τις προηγούμενες, λύνοντας απλές πρωτοβάθμιες. Θα βρούμε $S\left (\dfrac {c}{b_3-l},\, \dfrac {b_3c}{b_3-l} \right )$ και ανάλογα το

.

Τώρα οι αποστάσεις ${\color {red} AS, TC }$ εκφράζονται ως προς

(άμεσο) και η ισότητα ${\color {red}AS=TC}$ οδηγεί σε μια απλή δευτεροβάθμια ως προς

. Την λύνουμε και τελειώσαμε. Θα το έκανα αλλά νομίζω ότι είναι περιττός κόπος χωρίς Μαθηματική ουσία, πέρα από το ενδιαφέρον ερώτημα της άσκησης για διαπίστωση ότι το θέμα είναι επιλύσιμο.

Edit. Έκανα τυπογραφική διόρθωση. Βλέπε τα παρακάτω ποστ.

KARKAR · #3

: στριφνή γενίκευση.png (5.18 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές

Μιχάλη ίσως δεν έγινε κατανοητό το γενικό ερώτημα : Έχουμε ένα τρίγωνο ABC

και μια ευθεία $\varepsilon$ . Να αχθεί

τμήμα : $ST \parallel \varepsilon$ , τέτοιο ώστε : AS=TC

. Η προσπάθεια επίλυσης με χρήση συντεταγμένων δεν αντέχεται .

Μπορεί όμως να χρησιμοποιηθεί στο παράδειγμα . Ούτως ή άλλως , αναζητούμε ( κυρίως ) την ευκλείδεια λύση !

S.E.Louridas · #4

KARKAR έγραψε: Δευ Ιαν 13, 2025 8:12 pm Μιχάλη ίσως δεν έγινε κατανοητό το γενικό ερώτημα : Έχουμε ένα τρίγωνο και μια ευθεία $\varepsilon$ . Να αχθεί
τμήμα : $ST \parallel \varepsilon$ , τέτοιο ώστε : . Η προσπάθεια επίλυσης με χρήση συντεταγμένων δεν αντέχεται .
Μπορεί όμως να χρησιμοποιηθεί στο παράδειγμα . Ούτως ή άλλως , αναζητούμε ( κυρίως ) την ευκλείδεια λύση !

Ας δούμε και αυτό:

Λόγω της σταθερής διεύθυνσης στο δεύτερο σχήμα του Θανάση έχουμε:

$\displaystyle{\frac{{ST}}{{TC}} = \frac{{ST}}{{SA}} = \frac{m}{n},\;ct.,\angle STC,\;ct. \Rightarrow \angle TCS,\;ct.}$

#5

KARKAR έγραψε: Δευ Ιαν 13, 2025 8:12 pm Μιχάλη ίσως δεν έγινε κατανοητό το γενικό ερώτημα : Έχουμε ένα τρίγωνο και μια ευθεία $\varepsilon$ . Να αχθεί

τμήμα : $ST \parallel \varepsilon$ , τέτοιο ώστε : .

Θανάση, σωστά κατάλαβα το ερώτημα αλλά από τυπογραφική αβλεψία θεώρησα τις κορυφές του τριγώνου με άλλη σειρά: To

έγινε

και το

έγινε

. Κάνω αμέσως την διόρθωση στην αρχική μου απάντηση. Από εκεί και πέρα, αυτά που γράφω είναι σωστά.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ για την επισήμανση.

#6

KARKAR έγραψε: Δευ Ιαν 13, 2025 11:17 am Στριφνή ισότητα.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος , καλείστε να βρείτε σημεία των πλευρών αντίστοιχα ,
τέτοια ώστε : $\lambda _{ST}=\dfrac{1}{3}$ και : .
Προσπαθήστε τώρα να κάνετε το ίδιο , σε τυχόν τρίγωνο και τμήμα οποιασδήποτε διεύθυνσης .

Έστω λυμένο το πρόβλημα. Ας είναι δε , AS = R

που αν προσδιοριστεί η κατασκευή μετά είναι απλή.

Φέρνω από το σταθερό

σταθερή ευθεία παράλληλη προς τη δοθείσα διεύθυνση και τέμνει την

στο σταθερό

.

: Στριφνή ισότητα_Ανάλυση.png (21.79 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές

Επειδή : $\dfrac{{AS}}{{AB}} = \dfrac{{AT}}{{AE}} \Rightarrow \dfrac{R}{c} = \dfrac{{b - R}}{{AE}} \Leftrightarrow R = \dfrac{{bc}}{m}\,\,,\,\,m = AE + c$ . Το

κατασκευάζεται ως τετάρτη ανάλογος των : m,b,c

Οι κύκλοι , $\left( {A,R} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {C,R} \right)$ ορίζουν στις $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CA$ τα $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ .

: Στριφνή ισότητα_Κατασκευή.png (15.26 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές

S.E.Louridas · #7

Απλά επανέρχομαι για να δώσω και την κατασκευή στο σχήμα που παραθέτω, με βάση την ανάλυση που ήδη έκανα.

S.E.Louridas έγραψε: Δευ Ιαν 13, 2025 8:33 pm
KARKAR έγραψε: Δευ Ιαν 13, 2025 8:12 pm Μιχάλη ίσως δεν έγινε κατανοητό το γενικό ερώτημα : Έχουμε ένα τρίγωνο και μια ευθεία $\varepsilon$ . Να αχθεί
τμήμα : $ST \parallel \varepsilon$ , τέτοιο ώστε : . Η προσπάθεια επίλυσης με χρήση συντεταγμένων δεν αντέχεται .
Μπορεί όμως να χρησιμοποιηθεί στο παράδειγμα . Ούτως ή άλλως , αναζητούμε ( κυρίως ) την ευκλείδεια λύση !
Ας δούμε και αυτό:

Λόγω της σταθερής διεύθυνσης στο δεύτερο σχήμα του Θανάση έχουμε:

$\displaystyle{\frac{{ST}}{{TC}} = \frac{{ST}}{{SA}} = \frac{m}{n},\;ct.,\angle STC,\;ct. \Rightarrow \angle TCS,\;ct.}$

: katask..png (31.96 KiB) Προβλήθηκε 641 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #8

Καλημέρα σε όλους!
Μια ακόμη κατασκευή :

: ισότητα14-1.png (293.82 KiB) Προβλήθηκε 621 φορές

Φέρω την $BF \parallel e$ . Στην ημιευθεία

παίρνω

και

. Το $H \in AB$ ώστε $ZH \parallel EB$ .

Το AS=BH

δίνει το ζητούμενο

και ακολουθεί $ST \parallel BF$ .

Θα επανέλθω να δείξω - αν δεν καλυφθεί- ότι TC=AS

. Φιλικά, Γιώργος.

KARKAR · #9

: στριφνή γενίκευση λύση.png (18.9 KiB) Προβλήθηκε 609 φορές

Η λύση του προτείναντος : Η διχοτόμος της $\hat{A}$ , τέμνει την παράλληλη της $\varepsilon$ από το

, στο σημείο

.

Η μεσοκάθετος του

τέμνει την

στο

. Φέρω : $ST\parallel \varepsilon$ . Το PSTC

είναι παραλληλόγραμμο .

#10

KARKAR έγραψε: Δευ Ιαν 13, 2025 11:17 am Στριφνή ισότητα.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος , καλείστε να βρείτε σημεία των πλευρών αντίστοιχα ,
τέτοια ώστε : $\lambda _{ST}=\dfrac{1}{3}$ και : .
Προσπαθήστε τώρα να κάνετε το ίδιο , σε τυχόν τρίγωνο και τμήμα οποιασδήποτε διεύθυνσης .

Ας δούμε και την λύση με Αναλυτική Γεωμετρία. Έχει το μειονέκτημα ότι χρειάζονται πολλές πράξεις (αν και απλές) αλλά το πλεονέκτημα ότι μας δίνει όλα τα μήκη και όλες τις θέσεις των σημείων. Επίσης, μέγα πλεονέκτημα είναι ότι η λύση γίνεται ρουτίνα, δηλαδή λύνει εύκολα τις ασκήσεις οι οποίες αλλιώς θα απαιτούσαν φαντασία (και πολλοί δεν θα τις έλυναν).

H ζητούμενη ευθεία

έχει εξίσωση $y=\dfrac {1}{3}x+c$ . με το

άγνωστο.

Η

έχει εξίσωση y=3x

, άρα η τομή της με την

είναι $S\left (\dfrac {3c}{8},\, \dfrac {9c}{8}\right )$ . Άρα

$BS=\sqrt {\left (\dfrac {3c}{8}-3\right )^2+ \left (\dfrac {9c}{8}-9\right )^2 }= \sqrt {\dfrac {90}{64}(c-8)^2 }= \dfrac {3\sqrt {10}}{8}(8-c)$

Όμοια, η

έχει εξίσωση $y=-\dfrac {9}{13}(x-16)$ , άρα η τομή της με την

είναι $T\left (-\dfrac {39c}{40}+\dfrac {54}{5},\, -\dfrac {27c}{40}+\dfrac {18}{5}\right )$ . Άρα

$TA= \sqrt {\left (-\dfrac {39c}{40}+\dfrac {54}{5}-16\right )^2+ \left (-\dfrac {27c}{40}+\dfrac {18}{5}-0\right )^2 }=\sqrt {\dfrac {100}{64}(3c+16)^2 }= \dfrac {\sqrt {10}}{8}(3c+16)$

H συνθήκη BS=TA

γίνεται $\dfrac {3\sqrt {10}}{8}(8-c) = \dfrac {\sqrt {10}}{8}(3c+16)$ από όπου $\boxed {c=\dfrac {4}{3}}$

Πίσω στις αρχικές, βρίσκουμε ότι τα ζητούμενα σημεία είναι τα $\boxed {S\left (\dfrac {1}{2},\, \dfrac {3}{2}\right ), \, T\left (\dfrac {19}{2},\, \dfrac {9}{2}\right )}$ . Τελειώσαμε.

Αν θέλουμε και έλεγχο, βάζοντας το

που βρήκαμε στα μήκη, θα διαπιστώσουμε $\boxed {BS=TA= \dfrac {5\sqrt {10}}{2}}$
.

KARKAR · #11

: Στριφνή ισότητα.png (8.23 KiB) Προβλήθηκε 595 φορές

Περιληπτικά η λύση που είχα σχεδιάσει (σχεδόν ίδια με αυτή του Μιχάλη ) :

Κλίση μας δίνει : $\dfrac{144-9t-39s}{13(t-s)}=\dfrac{1}{3}$ , ενώ η ισότητα των τμημάτων :

$(3-s)^2+(9-3s)^2=(t-16)^2+\dfrac{9}{169}(t-16)^2$ .

Η λύση του συστήματος ( δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται ) , δίνει τα σημεία που βρήκε ο Μιχάλης .

Στριφνή ισότητα

Στριφνή ισότητα

Re: Στριφνή ισότητα

Re: Στριφνή ισότητα

Re: Στριφνή ισότητα

Re: Στριφνή ισότητα

Re: Στριφνή ισότητα

Re: Στριφνή ισότητα

Re: Στριφνή ισότητα

Re: Στριφνή ισότητα

Re: Στριφνή ισότητα

Re: Στριφνή ισότητα

Μέλη σε σύνδεση