Έκαστος στο είδος του

KARKAR · #1

: Έκαστος στο είδος του.png (10.91 KiB) Προβλήθηκε 559 φορές

Τμήμα

, ολισθαίνει στην υποτείνουσα

ορθογωνίου τριγώνου OAB

,

με κάθετες πλευρές : OA=8 , OB=6

. Έστω : $\theta=\widehat{SOT}$ .

α) Όταν η γωνία $\theta$ γίνει ελάχιστη , βρείτε την εφαπτομένη της .

β) Όταν η γωνία $\theta$ γίνει $45^{\circ}$ , βρείτε την θέση του

.

γ) Όταν η γωνία $\theta$ γίνει μέγιστη , υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων OS , OT

.

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 12, 2025 8:44 amΤμήμα , ολισθαίνει στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου ,
με κάθετες πλευρές : . Έστω : $\theta=\widehat{SOT}$ .
α) Όταν η γωνία $\theta$ γίνει ελάχιστη , βρείτε την εφαπτομένη της .
β) Όταν η γωνία $\theta$ γίνει $45^{\circ}$ , βρείτε την θέση του .
γ) Όταν η γωνία $\theta$ γίνει μέγιστη , υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων .

Ας δούμε μία βραδινή έμπνευση:

Θα δούμε μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία που εδώ λειτουργεί στο γενικό περιβάλλον με μόνη δέσμευση την ορθή γωνία και ότι OB<OA.

.

Αν θεωρήσουμε ως σταθερό δεδομένο το τμήμα

, την ευθεία $(\varepsilon)$ με το σημείο

να ανήκει στην $(\varepsilon)$ με OS=OT,

τότε για τις μετακινήσεις του

δεξιά, αφού αυτόματα αριστερά υπάρχουν οι συμμετρικές του, όπως στις θέσεις O_1

,

παρατηρούμε ότι

μεταξύ των αντίστοιχων γωνιών που δημιουργούνται υπάρχει η προφανής, λόγω των περιεγραμμένων κύκλων, διάταξη που βλέπουμε στο σχήμα.

Στο δοθέν τώρα πρόβλημα είναι καθαρό, ότι σταθεροποιώντας το

κάθε μετακίνηση, σύροντας επί της

το τμήμα

, του

αντιστοιχεί σε ίσο τρίγωνο της προηγούμενης μετακίνησης. Τελικά λοιπόν η μέγιστη τιμή της $\thetta$ επιτυγχάνεται όταν

η κάθετη

επί της

καταστεί μεσοκάθετη του

και η μέγιστη όταν το

ταυτιστεί με το

, αφού

: kar kar.png (70 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

KARKAR · #3

Σωτήρη έπιασες την "ραχοκοκαλιά" της άσκησης , αλλά ας μην υποτιμούμε και τις "σάρκες " .

Υποθέτω ότι θα επανέλθεις με τα "υπολογιστικά "

S.E.Louridas · #4

KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 15, 2025 8:12 am Σωτήρη έπιασες την "ραχοκοκαλιά" της άσκησης , αλλά ας μην υποτιμούμε και τις "σάρκες " .
Υποθέτω ότι θα επανέλθεις με τα "υπολογιστικά ":

Μου αρέσουν δύο πράγματα στην σοβαρή ενασχόληση με το art of problems solving κατά την καθ' ύλην διδασκαλία μου στα παιδιά που αποτελούν τη ραχοκοκαλιά των διαγωνισμών; Το πρώτο είναι οι γενικεύσεις που οδηγούν σε ευρύτερες κατευθύνσεις. Έχει σημασία να έχουμε ξεφύγει από την μαθηματική στόχευση της νιότης λύση για τη λύση (λόγια που μου είχε πεί όταν ήμουν πρωτοετής φοιτητής ο τεράστιος Μαθηματικός Σπύρος Κανέλλος), για τούτο και στο όμορφο αυτό θέμα αυτό επιδίωξα. Το δεύτερο είναι ότι είμαι υπέρ του Μαθηματικού Πλουραλισμού. Άρα κάνοντας τη γενίκευση του όμορφου αυτού θέματος, που θεωρώ ότι ανοίγει κατασκευαστικές στιγμές και για άλλα θέματα, με ενδιαφέρει πρώτιστα να διδαχτώ και άλλες λύσεις και κύρια εκείνη του δημιουργού το θέματος. Να είσαι πάντα καλά να κατασκευάζεις θέματα που να διεγείρουν. Και επειδή όσο με αφορά σε δύο εισηγήσεις μου σε αντίστοιχα συνέδρια της ΕΜΕ έχω αναφερθεί στον τρόπο κατασκευής θεμάτων (of μάλιστα της βοήθειας των πολυμέσων που τα θεωρώ κορυφαία μαθηματική παρέμβαση), καλό θα είναι κάπου-κάπου μα αναφερόμαστε και στον τρόπο κατασκευής ενός θέματος μας. Να είσαι λοιπόν καλά να κατασκευάζεις θέματα που να διεγείρουν, όπως πχ. το συγκεκριμένο (επενδύοντας τα μάλιστα και με χιούμορ όπως εσύ γνωρίζεις. Καλή σου χρονιά Θανάση με Υγεία.

#5

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 12, 2025 8:44 am Έκαστος στο είδος του.pngΤμήμα , ολισθαίνει στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου ,

με κάθετες πλευρές : . Έστω : $\theta=\widehat{SOT}$ .

α) Όταν η γωνία $\theta$ γίνει ελάχιστη , βρείτε την εφαπτομένη της .

β) Όταν η γωνία $\theta$ γίνει $45^{\circ}$ , βρείτε την θέση του .

γ) Όταν η γωνία $\theta$ γίνει μέγιστη , υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων .

Φέρνω το ύψος $AD=\dfrac{24}{5}$ και θέτω DS=x,

οπότε

εφόσον το

είναι εσωτερικό του ST).

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle \varphi + \omega = \theta$ και $\displaystyle \tan \varphi = \frac{{5x}}{{24}},\tan \omega = \frac{{5(4 - x)}}{{24}},$ απ' όπου

$\displaystyle \tan \theta = \frac{{\tan \varphi + \tan \omega }}{{1 - \tan \varphi \tan \omega }} = \frac{{480}}{{576 - 25x(4 - x)}}$

: Έκαστος στο είδος του.png (13.36 KiB) Προβλήθηκε 441 φορές

α) Η $\theta$ παίρνει ελάχιστη τιμή όταν το

συμπέσει με το

οπότε $\displaystyle x = SD = \frac{{32}}{5}$ και με αντικατάσταση $\boxed{\tan \theta = \frac{1}{2}}$

β) $\displaystyle \tan \theta = 1 \Leftrightarrow 25{x^2} - 100x + 96 = 0,$ απ' όπου $\boxed{DS=x=\frac{12}{5}}$ ή $\dfrac{8}{5}.$

γ) Με παραγώγους βρίσκω ότι η $\theta$ μεγιστοποιείται όταν DS=DT=2,

άρα

ισοσκελές και $\boxed{ OS=OT=\frac{26}{5}}$

abgd · #6

: eidos.png (23.1 KiB) Προβλήθηκε 425 φορές

Φέρνουμε το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου και τη διάμεσο του OST

.

Από τις μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο OAB

έχουμε:

Έστω

Καθώς τα

κινούνται προς τα A,B

έχουμε τις περιπτώσεις:

Αν το κινείται στο θα φτάσει μέχρι το μέσο του , όταν το συμπίπτει με το . Τότε και έτσι θα είναι $x\in[0,4,4]$ .

Αν το κινείται στο θα φτάσει μέχρι το μέσο του , όταν το συμπίπτει με το . Τότε και έτσι θα είναι $x\in[0,1,6]$ .

Είναι
$(OST)=9,6 \Rightarrow OS\cdot OT\cdot sin\theta=19,2 \Rightarrow sin\theta=\dfrac{19,2}{OS\cdot OT} \bf (1)$

Από το 1ο θεώρημα διαμέσων
OS^2+OT^2=2OM^2+8=2x^2+54,08

Από το νόμο των συνημιτόνων
$cos\theta = \dfrac{OS^2+OT^2-16}{2OS\cdot OT}=\dfrac{x^2+19,04}{OS\cdot OT} \bf(2)$

Από $\bf{(1), (2)}$ έχουμε:

$\boxed{cot\theta= \dfrac{x^2+19,04}{19,2}, \ \ x\in [0, \ \ 4,4]}$ $\bf{(3)}$

Άρα η $cot\theta$ γίνεται ελάχιστη για x=0

και μέγιστη για x=4,4

και, εφόσον είναι γνησίως φθίνουσα,

η γωνία $\theta$ γίνεται ελάχιστη για x=4,4

και μέγιστη για x=0

.