Απίθανα αθροίσματα

KARKAR · #1

: Απίθανα αθροίσματα.png (5.74 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές

Βρείτε σημεία

στο εσωτερικό της γωνίας του σχήματος , για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων

SP+ST

από τις πλευρές της , να ισούται με

. Υπολογίστε επίσης το άθροισμα : OP+OT

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 24, 2025 9:06 pm Απίθανα αθροίσματα.pngΒρείτε σημεία στο εσωτερικό της γωνίας του σχήματος , για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων

από τις πλευρές της , να ισούται με . Υπολογίστε επίσης το άθροισμα : .

Παίρνουμε σημεία A,B

στον άξονα την

και στην

, αντίστοιχα, έτσι ώστε $OA=OB = \dfrac {35}{4}$ , ισοδύναμα $A\left (\dfrac {35}{4}, 0 \right ),\, B(\dfrac {21}{4}, 7)$ . Tα

και

κάνουν για

(δηλαδή ικανοποιούν την SP+ST=7

(άμεσο).

Δείχνουμε ότι κάθε σημείο της βάσης

του ισοσκελούς τριγώνου OAB

κάνει για

. Πρόκειται για γνωστή ιδιότητα των ισοσκελών τριγώνων. Πράγματι, από εμβαδά έχουμε

$\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {35}{4}\cdot 7= (OAB)= (OAS)+(OSB) = \dfrac {1}{2}\cdot SP\cdot \dfrac {35}{4} + \dfrac {1}{2}\cdot ST\cdot \dfrac {35}{4}$ ,

άρα SP+ST=7

. Τελειώσαμε.

Υπόψη ότι Ισχύει και το αντίστροφο (άμεσο και γνωστό). Αν θέλουμε την

ως εξίσωση, είναι η $4x+2y=35 \. (*)$ .

To OP+OT

για συγκεκριμένο

είναι άμεσο, αφού ξέρουμε τις συντεταγμένες του

. Π.χ. το σημείο S(7, 7/2)

(το μέσον του

) βρίσκεται στην

(αφού επαληθεύει την (*)

). Eδώ προφανώς OP=OT=7

και άρα

.

Το ενδιαφέρον είναι, πράγμα που δικαιολογεί τον πληθυντικό στον τίτλο, πάντα ισχύει OP+OT=stathero

, εδώ

(απλή και γνωστή ιδιότητα του ισοσκελούς τριγώνου).

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 24, 2025 9:06 pm Απίθανα αθροίσματα.pngΒρείτε σημεία στο εσωτερικό της γωνίας του σχήματος , για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων

από τις πλευρές της , να ισούται με . Υπολογίστε επίσης το άθροισμα : .

Έστω

Αφού το

είναι εσωτερικό της γωνίας, τότε $\displaystyle \tan \theta < \tan (P\widehat OT) \Leftrightarrow \frac{y}{x} < \frac{4}{3} \Leftrightarrow 4x - 3y > 0$

: Απίθανα..png (14.72 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές

$\displaystyle SP + ST = y + \frac{{|4x - 3y|}}{5} = 7 \Leftrightarrow$ $\boxed{4x+2y=35}$ Άρα το

είναι οποιοδήποτε σημείο του τμήματος

αυτής της ευθείας που περιορίζεται από τις πλευρές της γωνίας $P\widehat OT.$

$\displaystyle O{T^2} = O{S^2} - S{T^2} = {x^2} + {y^2} - {(y - 7)^2} = {x^2} + 14y - 49.$ Αλλά, $\displaystyle y = \frac{{35 - 4x}}{2},$ οπότε

καταλήγουμε σε $\displaystyle O{T^2} = {(x - 14)^2} \Leftrightarrow OT = 14 - x$

επειδή

θα είναι $0<x<\dfrac{35}{4}).$

Επομένως, $\boxed{OP+OT=x+14-x=14}$

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Φεβ 25, 2025 1:10 am
.... Πρόκειται για γνωστή ιδιότητα των ισοσκελών τριγώνων. Πράγματι, από εμβαδά έχουμε ...

...

...πάντα ισχύει , εδώ (απλή και γνωστή ιδιότητα του ισοσκελούς τριγώνου).

Λίγες μέρες νωρίτερα έγραφα τα παραπάνω. Τώρα σε νέα ανάρτηση του θεματοθέτη ουσιαστικά ζητούνται οι αποδείξεις. Τις ανάρτησα

εδώ

Απίθανα αθροίσματα

Απίθανα αθροίσματα

Re: Απίθανα αθροίσματα

Re: Απίθανα αθροίσματα

Re: Απίθανα αθροίσματα

Μέλη σε σύνδεση