Τα μέγιστα

KARKAR · #1

: Τα μέγιστα.png (15.69 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές

Στο ορθογώνιο τραπέζιο ABCD

, σημείο

κινείται στην πλευρά

, ενώ σημείο

κινείται στην

. Να συγκριθούν τα μέγιστα των γωνιών : $\widehat{DSC}$ και : $\widehat{APB}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 28, 2025 12:17 pm Τα μέγιστα.pngΣτο ορθογώνιο τραπέζιο , σημείο κινείται στην πλευρά , ενώ σημείο

κινείται στην . Να συγκριθούν τα μέγιστα των γωνιών : $\widehat{DSC}$ και : $\widehat{APB}$ .

Εργαζόμαστε στο Σχ.1 και είναι $\displaystyle \tan \varphi = \tan (a + b) = \frac{{\frac{{7 - x}}{3} + \frac{x}{5}}}{{1 - \frac{{x(7 - x)}}{{15}}}} = \frac{{35 - 2x}}{{{x^2} - 7x + 15}}$

που έχει μέγιστο $\boxed{{(\tan \varphi )_{\max }} = \frac{2}{{11}}\left( {28 + \sqrt {795} } \right)}$ όταν $\boxed{x = \frac{{35 - \sqrt {795} }}{2}}$

: Τα μέγιστα.ΚΑ.png (20.68 KiB) Προβλήθηκε 757 φορές

Στο Σχ.2 είναι $\displaystyle PQ = \frac{{5y + 3(7 - y)}}{7} = \frac{{2y + 21}}{7}$ και $\tan \theta = \tan (\omega + z),$ απ' όπου καταλήγω σε

$\tan \theta=\dfrac{{49(2y + 21)}}{{{{(2y + 21)}^2} - 49y(7 - y)}}$ που έχει μέγιστο $\boxed{{(\tan \theta )_{\max }} = \frac{2}{{11}}\left( {28 + \sqrt {795} } \right)}$

όταν $\boxed{y = \frac{{49\sqrt {795} - 1113}}{{106}}}$ Άρα οι ζητούμενες γωνίες έχουν την ίδια μέγιστη τιμή.

Αν μη τι άλλο, το αποτέλεσμα είναι εντυπωσιακό. Συγχαρητήρια Θανάση

Ακόμα εντυπωσιακότερο είναι, ότι αυτό συμβαίνει σε κάθε ορθογώνιο τραπέζιο.

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 28, 2025 12:17 pm Τα μέγιστα.pngΣτο ορθογώνιο τραπέζιο , σημείο κινείται στην πλευρά , ενώ σημείο

κινείται στην . Να συγκριθούν τα μέγιστα των γωνιών : $\widehat{DSC}$ και : $\widehat{APB}$ .

.
Βάζω γεωμετρική λύση που, επίσης, ερμηνεύει το φαινόμενο. Το κάνω για γενικό ορθογώνιο τραπέζιο, όχι μόνο το εικονιζόμενο.

Θα χρειαστούμε το γεγονός ότι η μέγιστη γωνία $\widehat{APB}$ επιτυγχάνεται όταν ο κύκλος από τα σημεία B, P, A

εφάπτεται της

. Πρόκειται για απποτέλεσμα του Regiomontanus τπυ οποίου έβαλα απόδειξη και ιστορικά σχόλια στα ποστ #4 και #6 εδώ

Φέρνουμε τον κύκλο A, B, P

ο οποίος εφάπτεται της

στο

, οπότε από τα παραπάνω η $\widehat{APB}$ είναι μέγιστη. Φέρνουμε $PS\perp CD$ η οποία τέμνει την

στο

. Θα δείξουμε ότι η $\widehat{DSC}$ είναι μέγιστη.

Επειδή το SBCP

είναι εγγράψιμο (δύο γωνίες ορθές) έχουμε $\widehat{S_1}= \widehat{P_1}= \widehat{A_1}$ (χορδή και εφαπτομένη). Άρα CS//AP

. 'Ομοια

και άρα $\widehat{DSC} = \widehat{APB}$ .

Επίσης από την παραλληλία έχουμε $\widehat{D_1}= \widehat{P_1}= \widehat{S_1}$ . Άρα ο κύκλος από τα σημεία C, S, D

εφάπτεται της

και άρα (Regiomontanus) η $\widehat{DSC}$ είναι μέγιστη. Η ζητούμενη ισότητα έχει ήδη αποδειχθεί.
.

KARKAR · #4

: DOL KAR ΒΙΣ ΛΑΜ.png (18.64 KiB) Προβλήθηκε 720 φορές

Πηγή έμπνευσης η άσκηση του Νίκου αυτή . Παρατηρήστε και αποδείξτε

ότι οι γωνίες $\widehat{ASB}$ και $\widehat{CZD}$ , είναι και οι δύο ορθές .

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Απρ 29, 2025 5:43 pm
KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 28, 2025 12:17 pm Τα μέγιστα.pngΣτο ορθογώνιο τραπέζιο , σημείο κινείται στην πλευρά , ενώ σημείο

κινείται στην . Να συγκριθούν τα μέγιστα των γωνιών : $\widehat{DSC}$ και : $\widehat{APB}$ .
.
Βάζω γεωμετρική λύση που, επίσης, ερμηνεύει το φαινόμενο. Το κάνω για γενικό ορθογώνιο τραπέζιο, όχι μόνο το εικονιζόμενο.

Θα χρειαστούμε το γεγονός ότι η μέγιστη γωνία $\widehat{APB}$ επιτυγχάνεται όταν ο κύκλος από τα σημεία εφάπτεται της . Πρόκειται για απποτέλεσμα του Regiomontanus τπυ οποίου έβαλα απόδειξη και ιστορικά σχόλια στα ποστ #4 και #6 εδώ

Φέρνουμε τον κύκλο ο οποίος εφάπτεται της στο , οπότε από τα παραπάνω η $\widehat{APB}$ είναι μέγιστη. Φέρνουμε $PS\perp CD$ η οποία τέμνει την στο . Θα δείξουμε ότι η $\widehat{DSC}$ είναι μέγιστη.

Επειδή το είναι εγγράψιμο (δύο γωνίες ορθές) έχουμε $\widehat{S_1}= \widehat{P_1}= \widehat{A_1}$ (χορδή και εφαπτομένη). Άρα . 'Ομοια και άρα $\widehat{DSC} = \widehat{APB}$ .

Επίσης από την παραλληλία έχουμε $\widehat{D_1}= \widehat{P_1}= \widehat{S_1}$ . Άρα ο κύκλος από τα σημεία εφάπτεται της και άρα (Regiomontanus) η $\widehat{DSC}$ είναι μέγιστη. Η ζητούμενη ισότητα έχει ήδη αποδειχθεί.
.

Ωραία απόδειξη της γενίκευσης

Τα μέγιστα

Τα μέγιστα

Re: Τα μέγιστα

Re: Τα μέγιστα

Re: Τα μέγιστα

Re: Τα μέγιστα

Μέλη σε σύνδεση