Ενδιαφέρουσα παραλληλία

#1

: Ενδιαφέρουσα παραλληλία.2.png (13.72 KiB) Προβλήθηκε 1090 φορές

Στις πλευρές CD, AD

ορθογωνίου ABCD

θεωρώ τα σημεία M, N

αντίστοιχα, ώστε CM=AN.

Η

τέμνει τη

στο

και η

την

στο

Να δείξετε ότι MN//PQ.

#2

george visvikis έγραψε: Πέμ Μάιος 01, 2025 1:13 pm Στις πλευρές ορθογωνίου θεωρώ τα σημεία αντίστοιχα, ώστε

Η τέμνει τη στο και η την στο Να δείξετε ότι

Έστω

και $AB=a,\, BC=b$ .

Από την ομοιότητα των τριγώνων PAN, PBC

έχουμε $\dfrac {b}{BP} = \dfrac {AN}{PA}= \dfrac {p}{PB-a}$ . Από τις δύο ακριανές έχουμε $PB= \dfrac {b-p}{ab}$ .

Όμοια $QB= \dfrac {a-p}{ab}$ και άρα $\dfrac {PB}{QB}= \dfrac {b-p}{a-p}$ . Αλλά επίσης $\dfrac {BN}{DM}= \dfrac {DA-p}{DC-p}= \dfrac {b-p}{a-p}$ (ίσο με το προηγούμενο).

Άρα τα τρίγωνα $BPQ, \, DNM$ είναι όμοια καθώς $\dfrac {PB}{QB}= \dfrac {BN}{DM}$ (και τα δύο ίσα με $\dfrac {b-p}{a-p}$ ) και έχουν ίσες τις (ορθές) περιεχόμενες γωνίες $\angle B = \angle D$ .

Εφόσον δύο ζεύγη ομόλογων πλευρών των δύο εν λόγω όμοιων τριγώνων είναι παράλληλες, εύκολα διαπιστώνουμε από την ισότητα των αντίστοιχων γωνιών, ότι και οι τρίτες τους πλευρές $PQ, \, MN$ είναι παράλληλες, όπως θέλαμε.
.

#3

Μιχάλη, Γιώργο και λοιποί Φίλοι, καλό μήνα!

Να συμπληρώσω, ως ενδιαφέρον, ότι οι AM, CN

τέμνονται σε σημείο της διχοτόμου της ορθης γωνίας

του αρχικού ορθογωνίου.

#4

rek2 έγραψε: Πέμ Μάιος 01, 2025 8:13 pm Μιχάλη, Γιώργο και λοιποί Φίλοι, καλό μήνα!

Να συμπληρώσω, ως ενδιαφέρον, ότι οι τέμνονται σε σημείο της διχοτόμου της ορθης γωνίας του αρχικού ορθογωνίου.

Καλημέρα Κώστα.

Ενδιαφέρον. Με Αναλυτική:

Είναι B(0,0), C(0,b), A(-a,0), N(-a,p), M(-p,b)

. Άρα η ευθεία

είναι η $y-b= \dfrac {b-p}{a}(x-0)$ , ισοδύναμα $\boxed {ay-ab=(b-p)x}$ .

Όμοια η

είναι η $y= \dfrac {b-0}{a-p}(x+a)$ , ισοδύναμα $\boxed {ay-py=bx+ab}$ .

Αφαιρούμε κατά μέλη, οπότε -ab+py=-px-ab

, ισοδύναμα y=-x

. Με άλλα λόγια οι συντεταγμένες (x,y)

του κοινού σημείου των NC,AM

ικανοποιούν y=-x

, δηλαδή το σημείο βρίσκεται στην διχοτόμο της ορθής γωνίας

.
.

#5

rek2 έγραψε: Πέμ Μάιος 01, 2025 8:13 pm Μιχάλη, Γιώργο και λοιποί Φίλοι, καλό μήνα!

Να συμπληρώσω, ως ενδιαφέρον, ότι οι τέμνονται σε σημείο της διχοτόμου της ορθης γωνίας του αρχικού ορθογωνίου.

Καλημέρα σε όλους!

Έστω

το σημείο τομής των AM, CN.

: Ενδιαφέρουσα παραλληλία.2.png (17.25 KiB) Προβλήθηκε 994 φορές

$\displaystyle \frac{{AS}}{{SQ}} = \frac{{AN}}{{CQ}} = \frac{{MC}}{{CQ}} = \frac{{AB}}{{BQ}}$ (αντίστροφο θεωρήματος διχοτόμου).

#6

Ok! Ωραίες οι αποδείξεις!!

Το σημείο τομής των CP, AQ,

ας το πούμε

, ισαπέχει από τις AB, CB

. Έστω

, αντίστοιχα, οι αποστάσεις του αυτές.

Για την παραλληλία των PQ, NM

έχουμε τώρα

SP/ NP=SK/NA=SL/MC=SQ/MQ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

george visvikis έγραψε: Πέμ Μάιος 01, 2025 1:13 pm Ενδιαφέρουσα παραλληλία.2.png
Στις πλευρές ορθογωνίου θεωρώ τα σημεία αντίστοιχα, ώστε

Η τέμνει τη στο και η την στο Να δείξετε ότι

Το συμπέρασμα ισχύει για τυχαίο παραλ/μμο

Από θ.κ .δέσμης $\dfrac{CM}{ML} = \dfrac{BA}{AP} = \dfrac{CN}{NP} \Rightarrow MN//PL$ και $\dfrac{PS}{SC} = \dfrac{AP}{MC} = \dfrac{AP}{AN}= \dfrac{PB}{BC} \Rightarrow \angle B_{1}= \angle B_{2}$

: Ενδιαφέρουσα παραλληλία.png (34.02 KiB) Προβλήθηκε 954 φορές

Ενδιαφέρουσα παραλληλία

Ενδιαφέρουσα παραλληλία

Re: Ενδιαφέρουσα παραλληλία

Re: Ενδιαφέρουσα παραλληλία

Re: Ενδιαφέρουσα παραλληλία

Re: Ενδιαφέρουσα παραλληλία

Re: Ενδιαφέρουσα παραλληλία

Re: Ενδιαφέρουσα παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση