Συγκρίσιμα εμβαδά

KARKAR · #1

: Συγκρίσιμα εμβαδά.png (29.23 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές

Από σημείο

της προέκτασης της διαμέτρου AOB

ενός κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα

, ονομάζουμε

το αντιδιαμετρικό του

και

την τομή του

με τον κύκλο .

Αναζητούμε την ελάχιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{(TAP)}{(TQP)}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 06, 2025 9:47 am Συγκρίσιμα εμβαδά.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα , ονομάζουμε το αντιδιαμετρικό του και την τομή του με τον κύκλο .

Αναζητούμε την ελάχιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{(TAP)}{(TQP)}$ .

: sigrisima.png (30.62 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές

.
Θέτουμε OS=x

, οπότε εύκολα από τα διάφορα ορθογώνια τρίγωνα που βλέπουμε στο σχήμα, είναι

$TS=\sqrt {x^2-R^2}, PS= \sqrt {3R^2+x^2}$ .

Τώρα ξέρουμε τις διαστάσεις του ορθογωνίου τριγώνου PTS

, του οποίου το

είναι ύψος, οπότε εύκολα το πράσινο εμβαδόν είναι

$(TQP)= \dfrac {4R^3\sqrt {x^2-R^2}}{3R^2+x^2}$

Επίσης

$(TAP)= 2(TAO)= 2\times \dfrac {1}{2}R^2\sin \theta =\dfrac { R^2\sqrt {x^2-R^2}}{x}$

Άρα

$\dfrac{(TAP)}{(TQP)}= \dfrac {3R^2+x^2}{4Rx}= \dfrac {3R}{4x} + \dfrac {x}{4R} \ge 2 \sqrt {\dfrac {3R}{4x} \cdot \dfrac {x}{4R}}= \dfrac {\sqrt 3}{2}$

με ισότητα όταν $χ=R\sqrt 3$ . Δηλαδή το ζητούμενο ελάχιστο είναι $\boxed {\dfrac {\sqrt 3}{2} }$

KARKAR · #3

Παρότι η λυτική δεινότητα του Μιχάλη είναι πασίγνωστη , εδώ αυτόματα σου έρχεται η διάθεση για πολλαπλό

#4

Θανάση, ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια.

Και εμείς με την σειρά μας χαιρόμαστε τόσο τις ωραίες ασκήσεις που αναρτάς, όσο και τις λύσεις σου στα θέματα άλλων.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 06, 2025 9:47 am Συγκρίσιμα εμβαδά.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα , ονομάζουμε το αντιδιαμετρικό του και την τομή του με τον κύκλο .

Αναζητούμε την ελάχιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{(TAP)}{(TQP)}$ .

Ισχύει $\dfrac{(TAP)}{(TQP)} = \dfrac{(TAO)}{(TOQ)}= \dfrac{AL}{LQ}$ κι αν OS=x

,ο Μενέλαος στο τρίγωνο SAQ

με διατέμνουσα OLP

δίνει

$\dfrac{SO}{OA} . \dfrac{AL}{LQ} . \dfrac{PQ}{PS} =1 \Rightarrow \dfrac{AL}{LQ}= \dfrac{OA}{SO} . \dfrac{PS}{PQ} = \dfrac{R}{x} . \dfrac{1}{1+ \dfrac{QS}{QP} }$

Αλλά $\dfrac{QS}{QP} = \dfrac{ST^2}{4R^2}= \dfrac{x^2-R^2}{4R^2}$ κι έτσι καταλήγουμε
$\dfrac{(TAP)}{(TQP)} = \dfrac{1}{4R}( \dfrac{3R^2}{x}+x)$ επομένως ψάχνουμε για ποια τιμή του

είναι $\dfrac{3R^2}{x}+x=min$

Επειδή $\dfrac{3R^2}{x}.x=3R^2=ct ,$ το άθροισμα $\dfrac{3R^2}{x}+x$ γίνεται ελάχιστο,αν

υπάρχει τιμή του

ώστε $\dfrac{3R^2}{x}=x$ που ισχύει για $x=R \sqrt{3}$

Τότε $[\dfrac{(TAP)}{(TQP)}] _{min}= \dfrac{ \sqrt{3} }{2}$

: Συγκρίσιμα εμβαδά.png (24.58 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

Συγκρίσιμα εμβαδά

Συγκρίσιμα εμβαδά

Re: Συγκρίσιμα εμβαδά

Re: Συγκρίσιμα εμβαδά

Re: Συγκρίσιμα εμβαδά

Re: Συγκρίσιμα εμβαδά

Μέλη σε σύνδεση