Μεγιστομανία

KARKAR · #1

: Μεγιστομανία.png (15.24 KiB) Προβλήθηκε 798 φορές

Στην πλευρά OA=a

του ορθογωνίου τριγώνου OAB , (OB=b)

, κινείται σημείο

και έστω

η προβολή του

στην υποτείνουσα

. Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου OST

.

Αριθμητική εφαρμογή για : OA=8 , OB=6

.

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 29, 2025 7:04 am Μεγιστομανία.pngΣτην πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου , κινείται σημείο και έστω

η προβολή του στην υποτείνουσα . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Αριθμητική εφαρμογή για : .

: Μεγιστομανία.png (9.86 KiB) Προβλήθηκε 778 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 29, 2025 7:04 am Μεγιστομανία.pngΣτην πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου , κινείται σημείο και έστω

η προβολή του στην υποτείνουσα . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Αριθμητική εφαρμογή για : .

: megistom.png (20.86 KiB) Προβλήθηκε 777 φορές

Φέρνουμε $OC\perp AB, \, TD\perp OA$ , οπότε $h=OC= \dfrac {OA\cdot OB}{AB}= \dfrac {ab}{\sqrt {a^2+b^2}}$ . Θέτουμε SA=x

.

Από τα όμοια τρίγωνα OAB, STA

έχουμε $\dfrac {SA}{TD}=\dfrac {AB}{OC}$ , άρα $k=TD= \dfrac {xh}{\sqrt {a^2+b^2}}$ . Οπότε

$(OST)= \dfrac {1}{2}OS\cdot TD= \dfrac {1}{2} \dfrac {(a-x)xh}{\sqrt {a^2+b^2}}= \dfrac {1}{2} (a-x)x \dfrac {ab}{a^2+b^2}\le\dfrac {1}{2} \dfrac {a^2}{4} \dfrac {ab}{a^2+b^2}$

με ισότητα όταν $x=\dfrac {a}{2}$ . Τελικά $\boxed {(OST)_{max}= \dfrac {1}{8} \dfrac {a^3b}{a^2+b^2} }$ . Εδώ $\dfrac {96}{25}$

Edit. Με πρόλαβε ο Γιώργος όσο έγραφα. Το αφήνω για τον κόπο.

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Αύγ 29, 2025 9:59 am
Edit. Με πρόλαβε ο Γιώργος όσο έγραφα. Το αφήνω για τον κόπο.

Δεν σε πρόλαβα Μιχάλη. Εσύ έγραψες ολοκληρωμένη λύση, ενώ εγώ μόνο την απάντηση.

Nikitas K. · #5

Μια με αναλυτική...
Η εξίσωση της ευθείας

είναι $y = -\dfrac{b}{a}x+b$

Ισχύει T(an, -bn+b)

καθώς είναι σημείο της ευθείας

$\lambda_{ST} = \dfrac{-1}{\lambda_{AB}}$ διότι $ST\perp AB$

Συνεπώς,

$\dfrac{-bn + b}{an-s} = \dfrac{a}{b} \Leftrightarrow n = \dfrac{as+b^2}{a^2 + b^2} \qquad \color{blue} *$

$\displaystyle { (OST) = \dfrac{1}{2} \left | \begin{vmatrix} s & 0 \\ an & -bn+b \end{vmatrix} \right | = \dfrac{bs}{2} \left | n - 1 \right | \overset{{\color{blue} *}} {=} \dfrac{ab}{2(a^2+b^2)} (-s^2+as) }$

Όμως $-s^2 + as \leq \dfrac{a^2}{4}$ με την ισότητα να ισχύει για $s = \dfrac{a}{2}$

Επομένως, $(OST)_{max} = \dfrac{a^3b}{8(a^2+b^2)}$

: Μεγιστομανία.png (21.6 KiB) Προβλήθηκε 742 φορές

Μεγιστομανία

Μεγιστομανία

Re: Μεγιστομανία

Re: Μεγιστομανία

Re: Μεγιστομανία

Re: Μεγιστομανία

Μέλη σε σύνδεση