Ευρεία γαλλική νίκη

KARKAR · #1

: Ευρεία γαλλική νίκη.png (7.09 KiB) Προβλήθηκε 750 φορές

Εντοπίστε ένα σημείο

της μπλε ευθείας , για το οποίο είναι : NS-NO =2

.

Αν λύσετε το πρόβλημα χωρίς χρήση συντεταγμένων , οι βαθμοί σας διπλασιάζονται .

#2

Καλησπέρα σε όλους και καλή Σχολική Χρονιά. Μια παλιά γαλλική παροιμία λέει: Κάλλιο πέντε και στο χέρι με Αναλυτική παρά δέκα και καρτέρει με Ευκλείδεια γεωμετρία.

: 01-9-2025 Γεωμετρία.png (20.41 KiB) Προβλήθηκε 736 φορές

Η υπερβολή $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{{24}} = 1$ και η ευθεία $\displaystyle y = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right) + 3$ τέμνονται στο $\displaystyle N'\left( { - 1,4\;,\;4,8} \right)$ (δεκτή λύση στον αριστερό κλάδο της υπερβολής). Με οριζόντια μεταφορά κατά

έχουμε $\displaystyle N\left( {3,6\;,\;4,8} \right)$ .

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Σεπ 01, 2025 6:49 pm Ευρεία γαλλική νίκη.pngΕντοπίστε ένα σημείο της μπλε ευθείας , για το οποίο είναι : .

Αν λύσετε το πρόβλημα χωρίς χρήση συντεταγμένων , οι βαθμοί σας διπλασιάζονται .

: Ευρεία Γαλλική Νίκη.png (28.68 KiB) Προβλήθηκε 679 φορές

Μια λύση ( του "Μπατακσή" ) Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου

.

Η άλλη ( φαίνεται στο σχήμα η ανάλυση ) έχει να κάνει με το 2 ο Απολλώνιο πρόβλημα .

Κύκλος που διέρχεται από δύο σημεία και εφάπτεται ( εξωτερικά) δεδομένου κύκλου .

Θα την γράψω και θα την ανεβάσω σε λίγο .

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Σεπ 01, 2025 6:49 pm Ευρεία γαλλική νίκη.pngΕντοπίστε ένα σημείο της μπλε ευθείας , για το οποίο είναι : .

Αν λύσετε το πρόβλημα χωρίς χρήση συντεταγμένων , οι βαθμοί σας διπλασιάζονται .

Έστω λυμένο το πρόβλημα.

Πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ,

έστω σημείο

με $AS = 2 \Rightarrow NO = NA$ Ας είναι και

το συμμετρικό του

Σταθερού

ως προς τη δεδομένη σταθερή ευθεία .

: Ευρεία Γαλλική Νίκη_Ανάλυση.png (17.6 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Αρκεί τώρα να γράψω κύκλο που διέρχεται από τα σταθερά $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,O$ ( άρα το κέντρο του θα είναι στην σταθερή

ευθεία) και επι πλέον εφάπτεται εξωτερικά με το σταθερό κύκλο $\left( {S,2} \right)$ .

Σε λίγο και το σχήμα της κατασκευής .

: Ευρεία Γαλλική Νίκη_Κατασκευή.png (29.07 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

θα πληκτρολογήσω και τα λόγια της κατασκευής. πάντως μπορείτε να ανατρέξετε στο βιβλίο του Αρίστου Δημητρίου στην 189

σελίδα

1. Ο κύκλος $\Omega$ γράφεται με μόνη απαίτηση να διέρχεται από τα O,T

και να τέμνει τον $\left( {S,2} \right)$ ( Στα M,N

)

2. Το

είναι το σημείο τομής των $OT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MN$ κι είναι σταθερό(ριζικό κέντρο)

3. Η εστιγμένη ευθεία είναι η πολική του

ως προς τον $\left( {S,2} \right)$ και τον τέμνει στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A'$ .

4. Το

είναι το κέντρου του κύκλου : $\left( {T,O,A} \right)$ δηλαδή το

που θέλω.

Nikitas K. · #5

: Ευρεία γαλλική νίκη.png (15.84 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο $\triangle OAB$ έχουμε $AB = 3\sqrt{5}$ επομένως $\cos\theta =\dfrac{2}{\sqrt{5}} \quad\color{blue} (0)$

Από $\triangle KAN \sim \triangle OAB$ έχουμε $\dfrac{h}{3} = \dfrac{x+6}{6} = \dfrac{w+3\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$ που ισοδυναμεί με:

$x = 2h -6 \quad\color{blue} (1)$ και

$\sqrt{5} h = w + 3\sqrt{5} \quad\color{blue}(2)$

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο $\triangle KON$ έχουμε $y^2 \overset{{\color{blue}(1)}}{=} 5h^2 - 24h + 36 \quad\color{blue} (3)$

Από το νόμο συνημιτόνων στο $\triangle NAS$ έχουμε $z^2 \underset{{\color{blue} (0)}}{\overset{{\color{blue} (2)}}{=}} 5h^2 - 64h + 256 \quad\color{blue} (4)$

Όμως από το δεδομένο z = y + 2

και τη σχέση $\color{blue} (3)$ η σχέση $\quad\color{blue} (4)$ γίνεται $y = 54 - 10 h \quad\color{blue} (5)$

Συνεπώς η σχέση $\quad\color{blue} (3)$ λόγω της σχέσης $\quad\color{blue} (5)$ γίνεται 95h^2 - 1056 h + 2880 = 0

με δεκτή λύση την h = 4,8

και

#6

KARKAR έγραψε: Δευ Σεπ 01, 2025 6:49 pm Ευρεία γαλλική νίκη.pngΕντοπίστε ένα σημείο της μπλε ευθείας , για το οποίο είναι : .

Αν λύσετε το πρόβλημα χωρίς χρήση συντεταγμένων , οι βαθμοί σας διπλασιάζονται .

.
Για να υπάρχει, ας το δούμε και με Αναλυτική Γεωμετρία, αφού η λύση είναι τυφλοσούρτης:

Το τυχαίο σημείο της δοθείσας ευθείας είναι $N \left (t, \dfrac {t}{2}+3 \right )$ . H δοθείσα γράφεται

$\sqrt { (t -10)^2 + \left (\dfrac {t}{2}+3 \right)^2}=2+ \sqrt { t ^2 + \left (\dfrac {t}{2}+3 \right)^2}$

Λύνοντας (θα χρειαστεί να υψώσουμε δύο φορές στο τετράγωνο, αλλά στο τέλος ανάγεται σε δευτεροβάθμια) θα βρούμε $t=\dfrac {18}{5}$ , δηλαδή $\boxed { N \left (\dfrac {18}{5},\, \dfrac {24}{5} \right )}$

Ευρεία γαλλική νίκη

Ευρεία γαλλική νίκη

Re: Ευρεία γαλλική νίκη

Re: Ευρεία γαλλική νίκη

Re: Ευρεία γαλλική νίκη

Re: Ευρεία γαλλική νίκη

Re: Ευρεία γαλλική νίκη

Μέλη σε σύνδεση