Ο ολιγαρκής

KARKAR · #1

: Ο ολιγαρκής.png (12.46 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

έχει περίμετρο : L=2

. Με πλευρά την υποτείνουσα

κατασκευάζουμε

στο εξωτερικό του το τετράγωνο ASTB

. Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του πενταγώνου OASTB

.

#2

Καλησπέρα σε όλους. Δεν μπόρεσα να βρω κομψή λύση. Η εικασία ότι το ελάχιστο θα το έχουμε όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές επαληθεύτηκε με τη βοήθεια παραγώγων και σχεδιαστικού προγράμματος (geogebra). Θα χαρώ να δω μια κομψή αλγεβρική ή γεωμετρική λύση.

: Ο ολιγαρκής.png (12.46 KiB) Προβλήθηκε 270 φορές

Είναι

και $\displaystyle {a^2} = {b^2} + {c^2}$

Οπότε $\displaystyle b + c + \sqrt {{b^2} + {c^2}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{b^2} + {c^2}} = 2 - b - c \Leftrightarrow c = \frac{{2 - 2b}}{{2 - b}}$

$\displaystyle \left( {OASTB} \right) = {b^2} + {c^2} + \frac{{bc}}{2} = {b^2} + {\left( {\frac{{2 - 2b}}{{2 - b}}} \right)^2} + \frac{{b\left( {\frac{{2 - 2b}}{{2 - b}}} \right)}}{2} = \frac{{{b^4} - 3{b^3} + 5{b^2} - 6b + 4}}{{{{\left( {2 - b} \right)}^2}}}$ ,

που δίνει ελάχιστο όταν $\displaystyle b = c = 2 - \sqrt 2 ,\;\;a = 2\sqrt 2 - 2$ δηλαδή στο (προφανώς αναμενόμενο) ισοσκελές τρίγωνο,

με τιμή $\displaystyle {\left( {OASTB} \right)_{\min }} = 15 - 10\sqrt 2$

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 10, 2025 12:55 pm Ο ολιγαρκής.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο έχει περίμετρο : . Με πλευρά την υποτείνουσα κατασκευάζουμε

στο εξωτερικό του το τετράγωνο . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του πενταγώνου .

Κάτι παρόμοιο.

Θέτω AB=a

και

οπότε

Είναι $\displaystyle (OAB) = 1 - a$ (από τον

τύπο $\displaystyle E = \tau (\tau - a)$ για το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου). Άρα, $\boxed{(OASTB)=a^2-a+1}$ (1)

: Ο Ολιγαρκής.2.png (6.74 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

Με Π.Θ είναι, $\displaystyle {a^2} = {(x - a)^2} + {(2 - x)^2} \Leftrightarrow a = x - 2 + \frac{2}{x},$ και με αντικατάσταση στην (1)

παίρνω τελικά $\displaystyle (OASTB) = {\left( {x + \frac{2}{x}} \right)^2} - 5\left( {x + \frac{2}{x}} \right) + 7,$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων

βρίσκω $\boxed{{(OASTB)_{\min }} = 15 - 10\sqrt 2 }$ όταν $\boxed{x=\sqrt 2}$ Τη στιγμή της ελαχιστοποίησης το τρίγωνο

OAB

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Ο ολιγαρκής

Ο ολιγαρκής

Re: Ο ολιγαρκής

Re: Ο ολιγαρκής

Μέλη σε σύνδεση