Όχι πολύ μεγάλο

KARKAR · #1

: Όχι πολύ μεγάλο.png (12.58 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές

Ένα σημείο

βρίσκεται στην ακτίνα

, ενός ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r

.

Άλλο σημείο

κινείται στο ημικύκλιο . Αν : OP=x

, βρείτε το μέγιστο του $\sin\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 08, 2026 11:22 am
Όχι πολύ μεγάλο.pngΈνα σημείο βρίσκεται στην ακτίνα , ενός ημικυκλίου διαμέτρου .

Άλλο σημείο κινείται στο ημικύκλιο . Αν : , βρείτε το μέγιστο του $\sin\theta$ .

: Όχι πολύ μεγάλο.png (15.24 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές

$\displaystyle \sin \theta = \frac{{OD}}{r} \leqslant \frac{x}{r} = \sin \varphi \Leftrightarrow {(\sin \theta )_{\max }} = \frac{x}{r},$ όταν $SP\bot AB.$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 08, 2026 11:22 am
Όχι πολύ μεγάλο.pngΈνα σημείο βρίσκεται στην ακτίνα , ενός ημικυκλίου διαμέτρου .

Άλλο σημείο κινείται στο ημικύκλιο . Αν : , βρείτε το μέγιστο του $\sin\theta$ .

: Όχι πολύ.png (33.58 KiB) Προβλήθηκε 80 φορές

.
Πρόκειται για το λεγόμενο πρόβλημα του Regiomontanus που το έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ, για παράδειγμα βλέπε

εδώ

Στην παραπάνω περίπτωσή του, φέρνουμε τον κύκλο που διέρχεται από τα $O,\, P$ και εφάπτεται του δοθέντα, έστω στο

. Ισχυρίζομαι ότι το

είναι το ζητούμενο σημείο, με την μέγιστη γωνία. Πράγματι, για οποιοδήποτε άλλο σημείο

της περιφέρειας είναι

$\phi = \widehat {OSP} < \widehat {OCP} = \widehat {OTP} = \theta$ , όπως θέλαμε.

To $\sin \theta$ είναι τώρα άμεσο αφού η

είναι διάμετρος του κύκλου, και άρα $OP \perp PT$ . Και λοιπά.

Όχι πολύ μεγάλο

Όχι πολύ μεγάλο

Re: Όχι πολύ μεγάλο

Re: Όχι πολύ μεγάλο

Μέλη σε σύνδεση