Χαριτωμένη μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Χαριτωμένη μεγιστοποίηση.png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει διάμεσο την

και επίσης είναι : AC=BC

.

Υπολογίστε το : $(ABC)_{max}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 24, 2026 7:29 am Χαριτωμένη μεγιστοποίηση.pngΤο τρίγωνο έχει διάμεσο την και επίσης είναι : .

Υπολογίστε το : $(ABC)_{max}$ .

: χαριτωμένη.png (18.66 KiB) Προβλήθηκε 109 φορές

.
Επειδή

, αρκεί να βρούμε το μέγιστο του AMC

.

Αρχίζουμε με την δοθείσα

. Aφού

, το

βρίσκεται στον κύκλο του Απολλωνίου με AC:MC=2:1

. Mε άλλα λόγια το

βρίσκεται στον κύκλο διαμέτρου

όπου

, και άρα είναι $E(2,2), \, F(6,-6)$ και το κέντρο του κύκλου είναι D(4,-2)

.

To μέσον του τόξου $\frawn {EF}$ είναι η ζητούμενη θέση του

, οπότε είναι το C(8,0)

(άμεσο). Τώρα προεκτείνουμε την

μέχρι το

όπου

.

Τελικά $(ABC)_{max} = 2(AMC)= 2 \times \dfrac {1}{2}\cdot 5 \cdot 6=\boxed {30}$

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 24, 2026 7:29 am Χαριτωμένη μεγιστοποίηση.pngΤο τρίγωνο έχει διάμεσο την και επίσης είναι : .

Υπολογίστε το : $(ABC)_{max}$ .

Με τη βοήθεια του σχήματος κι επειδή AC=BC,

καταλήγω στην εξίσωση x^2+y^2-4x-12=0,

ή

Άρα το

κινείται σε κύκλο κέντρου K(2,2)

και ακτίνας $R=2\sqrt 5,$

όπου εύκολα διαπιστώνω ότι το

είναι σημείο της διαμέσου AM.

: Χαριτωμένη μεγιστοποίηση.png (28.26 KiB) Προβλήθηκε 90 φορές

$\displaystyle BL \leqslant ST = 2R \Leftrightarrow BN \leqslant SK$

$\displaystyle (ABC) = 2(ABM) = BN \cdot AM \leqslant SK \cdot AM = 2\sqrt 5 \cdot 3\sqrt 5 \Leftrightarrow$ $\boxed{{(ABC)_{\max }} = 30}$

όταν $\displaystyle B \equiv S( - 2,0)$

#4

Kαλησπέρα σε όλους. Μετά τις όμορφες γεωμετρικές λύσεις του Μιχάλη και του Γιώργου, δίνω και μια υπολογιστική (με εργαλεία που καλό είναι να γνωρίζουν να χειρίζονται οι μαθητές). Δεν χρησιμοποιώ συντεταγμένες. Αξιοποιώ μόνον το μήκος της διαμέσου.

: Χαριτωμένη μεγιστοποίηση.png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 84 φορές

Έστω

και $\displaystyle \widehat C = \omega ,\;\;\;0^\circ < \omega < 180^\circ$ . Είναι $\displaystyle AM = \sqrt {45}$ .

Στο AMC

είναι $\displaystyle 45 = {x^2} + \frac{{{x^2}}}{4} - 2\frac{{{x^2}}}{2} \cdot \sigma \upsilon \nu \omega \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \omega = \frac{{5{x^2} - 180}}{{4{x^2}}}$ .

Οπότε $\displaystyle \eta \mu \omega = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{5{x^2} - 180}}{{4{x^2}}}} \right)}^2}} = \frac{{3\sqrt { - {x^4} + 200{x^2} - 3600} }}{{4{x^2}}}$ .

$\displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{{{x^2}\eta \mu \omega }}{2} = \frac{{3\sqrt { - {x^4} + 200{x^2} - 3600} }}{8},\;\;\sqrt {20} \le x \le \sqrt {180}$ .

Παρουσιάζει μέγιστο όταν η παράσταση $\displaystyle - {x^4} + 200{x^2} - 3600$ παρουσιάζει μέγιστο.

Είναι $\displaystyle - {x^4} + 200{x^2} - 3600 = - \left( {{x^4} - 200{x^2} + 10000} \right) + 6400 = 6400 - {\left( {{x^2} - 100} \right)^2}$ .

Οπότε έχει μέγιστο όταν x = 10

, με τιμή $\displaystyle {\left( {ABC} \right)_{\max }} = \frac{{3\sqrt {6400} }}{8} = 30$ .

Χαριτωμένη μεγιστοποίηση

Χαριτωμένη μεγιστοποίηση

Re: Χαριτωμένη μεγιστοποίηση

Re: Χαριτωμένη μεγιστοποίηση

Re: Χαριτωμένη μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση