Η διαφορά λόγου και διαφοράς

KARKAR · #1

: Η διαφορά λόγου και διαφοράς.png (19.14 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές

Σε κύκλο

περιγράφουμε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

. α) Δείξτε ότι η διαφορά (ABKC)-(BKC)

είναι ανεξάρτητη από τις πλευρές a , b , c

του τριγώνου . β) Εξετάστε τι συμβαίνει με τον λόγο : $\dfrac{(ABKC)}{(BKC)}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Απρ 04, 2026 3:51 pm Η διαφορά λόγου και διαφοράς.pngΣε κύκλο περιγράφουμε ορθογώνιο τρίγωνο . α) Δείξτε ότι η διαφορά

είναι ανεξάρτητη από τις πλευρές του τριγώνου . β) Εξετάστε τι συμβαίνει με τον λόγο : $\dfrac{(ABKC)}{(BKC)}$ .

α) Είναι $(ABKC)-(BKC) = (AKB)+(AKC)-(BKC)= \dfrac {1}{2}cr+ \dfrac {1}{2}br- \dfrac {1}{2}ar= \dfrac {r}{2}(b+c-a)$

Αλλά είναι γνωστό και απλό (απόδειξη παρακάτω) ότι b+c-a=2r

. Άρα

σταθερό.

Για την απόδειξη έχουμε

$b+c-a=\dfrac {(b+c-a)(b+c+a)}{a+b+c}=\dfrac {(b+c)^2-a^2}{a+b+c}=\dfrac {(b^2+c^2-a^2)+2bc}{a+b+c}= \dfrac {2bc}{a+b+c}=$

$= \dfrac {4E}{a+b+c}= \dfrac {2(a+b+c)r}{a+b+c}=2r$ , όπως θέλαμε.

β) $\dfrac{(ABKC)}{(BKC)} = \dfrac{ \dfrac {1}{2}(b+c)r}{ \dfrac {1}{2}ar} = \dfrac {b+c}{a}$

Αυτό βέβαια είναι μεταβλητό. Μάλιστα αφού b+c>a

(τριγωνική) και $b+c\le \sqrt 2 \sqrt {b^2+c^2} = \sqrt 2 a$ (ισότητα στα ισοσκελή) είναι

$\boxed {1 <\dfrac {b+c}{a}\le \sqrt 2}$ και εύκολα βλέπουμε ότι όλες οι ενδιάμεσες τιμές είναι πιθανές.

KARKAR · #3

: Η διαφορά λόγου και διαφοράς συμπλ..png (24.95 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές

Μια άλλη απόδειξη για το πρώτο ερώτημα , φαίνεται στο σχήμα .

#4

KARKAR έγραψε: Σάβ Απρ 04, 2026 10:19 pm Η διαφορά λόγου και διαφοράς συμπλ..pngΜια άλλη απόδειξη για το πρώτο ερώτημα , φαίνεται στο σχήμα .

: διαφ διαφ.png (31.27 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές

.
Ενδιαφέρον.

Σημειώνω ότι θεώρησα την σχέση b+c-a=2r

ως γνωστή, οπότε θα τέλειωνε εκεί το θέμα, αλλά έβαλα κατά παρέκκλιση την απόδειξη. Μια πιο απλή απόδειξη αυτού στο ίδιο επίπεδο ευκολίας με την απλή απόδειξη του Θανάση είναι η εξής:

a=CS+SB=CP+BT=(b-r)+(c-r)

από όπου

.

Η διαφορά λόγου και διαφοράς

Η διαφορά λόγου και διαφοράς

Re: Η διαφορά λόγου και διαφοράς

Re: Η διαφορά λόγου και διαφοράς

Re: Η διαφορά λόγου και διαφοράς

Μέλη σε σύνδεση