Πάνω από την βάση

KARKAR · #1

Δείξτε ότι : $\displaystyle \sqrt[10]{\frac{1}{2}(9^{10}+11^{10})} >10$

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 02, 2026 6:49 pm Δείξτε ότι : $\displaystyle \sqrt[10]{\frac{1}{2}(9^{10}+11^{10})} >10$

.
Επειδή η $f(x)=x^{10}$ είναι γνήσια κυρτή, ισχύει $\displaystyle{\dfrac {f(a)+f(b)}{2} > f \left ( \dfrac {a +b}{2} \right ) }$ . Ειδικά

$\displaystyle{\dfrac {9^{10} +11^{10} }{2} > \left ( \dfrac {9+11}{2} \right ) ^{10} }$ , δηλαδή $\displaystyle{\dfrac {9^{10} +11^{10} }{2} > 10 ^{10} }$ , που ισοδυναμεί με την ζητούμενη.

#3

Καλησπέρα σε όλους. Μέρα που είναι (παραμονή Πανελλαδικών) και αφού δεν κινδυνεύουμε να κατηγορηθούμε ότι επηρεάζουμε τους θεματοδότες, αφού έχουν ήδη (απο)κλειστεί στο Υπ. παιδείας, ας δούμε το θέμα ως μονομαχία Jensen με Lagrange.

Καλή επιτυχία στα παιδιά που προσπάθησαν. Να ανταμειφθούν οι κόποι τους.

Η ζητούμενη ανισότητα γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle \frac{1}{2}\left( {{9^{10}} + {{11}^{10}}} \right) > {10^{10}} \Leftrightarrow {11^{10}} - {10^{10}} > {10^{10}} - {9^{10}}$ (1)

Αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει η (1).

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = {x^{10}},\;x \in R$ διπλά παραγωγίσιμη με $\displaystyle f''\left( x \right) = 90{x^8} \ge 0,\;\;\forall x \in R$ οπότε $\displaystyle f'\; \nearrow \;R$ .

Η συνάρτηση

ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [9,10], [10,11]

, οπότε υπάρχουν αντίστοιχα $\displaystyle {\xi _1} \in \left( {9,10} \right),\;{\xi _2} \in \left( {10,11} \right)$ ώστε $\displaystyle f'\left( {{\xi _1}} \right) = \frac{{{{10}^{10}} - {9^{10}}}}{{10 - 9}},\;\;f'\left( {{\xi _2}} \right) = \frac{{{{11}^{10}} - {{10}^{10}}}}{{11 - 10}}$ .

Λόγω της μονοτονίας της $\displaystyle f'$ είναι $\displaystyle f'\left( {{\xi _1}} \right) < f'\left( {{\xi _2}} \right) \Rightarrow \;\;\left( 1 \right)$ .

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 02, 2026 6:49 pm Δείξτε ότι : $\displaystyle \sqrt[10]{\frac{1}{2}(9^{10}+11^{10})} >10$

.
Απολύτως στοιχειωδώς:

Ισοδύναμα θέλουμε $9^{10}+11^{10} > 2\cdot 10^{10}$ , δηλαδή $11^{10}-10^{10} > 10^{10} - 9^{10}$ . Ισοδύναμα

$(11-10)(11^{9} + 11^8\cdot 10+...+ 10^9) > (10-9)(10^{9} + 10^8\cdot 9+...+ 9^9$ ή αλλιώς

$11^{9} + 11^8\cdot 10+...+ 10^9 > 10^{9} + 10^8\cdot 9+...+ 9^9$

Αλλά αυτή είναι άμεση γιατί όρο προς όρο οι προσθετέοι του αριστερού μέλους είναι μεγαλύτεροι από τους αντίστοιχους του δεξιού μέλους.

#5

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 02, 2026 6:49 pm Δείξτε ότι : $\displaystyle \sqrt[10]{\frac{1}{2}(9^{10}+11^{10})} >10$

.

Ισοδύναμα $9^{10}+11^{10} > 2\cdot 10^{10}$ . Θα δείξουμε ότι αυτή ισχύει με πολύύύ περίσσευμα δείχνοντας την ισχυρότερη

$\boxed {9^{10}+11^{10} >11^ {10} > 2\cdot 10^{10} }$

Πράγματι ξέρουμε την ανισότητα (1+a)^n > 1+na

για

. Aπόδειξη: Από το ανάπτυγμα του διωνύμου κρατώντας μόνο τους δύο πρώτους όρους έχουμε (1+a)^n= 1+na + ... + a^n > 1+na

. Υπόψη ότι θα μας χρειαστεί μόνο η περίπτωση n=10

, οπότε θέλουμε μόνο το ανάπτυγμα $(1+a)^{10}$ , αποφεύγοντας την γενική περίπτωση. Πίσω στην άσκηση:

Άρα έχουμε

$\left ( \dfrac {11}{10} \right ) ^{10} = \left ( 1+\dfrac {1}{10} \right ) ^{10} > 1+\dfrac {10}{10}=2$ , οπότε $11^{10} > 2\cdot 10^{10}$ . Τελειώσαμε.

Πάνω από την βάση

Πάνω από την βάση

Re: Πάνω από την βάση

Re: Πάνω από την βάση

Re: Πάνω από την βάση

Re: Πάνω από την βάση

Μέλη σε σύνδεση