Με και άνευ

KARKAR · #1

: Με και άνευ.png (11.51 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές

Στην ευθεία y=0

εντοπίστε σημείο

, τέτοιο ώστε ο κύκλος (K , KA)

να εφάπτεται της ευθείας $y=\dfrac{3}{4}x$ .

Προαιρετικά λύστε το πρόβλημα χωρίς χρήση καρτεσιανού λογισμού .

duamba · #2

KARKAR έγραψε: Τετ Ιουν 10, 2026 11:38 am
Με και άνευ.png
Στην ευθεία εντοπίστε σημείο , τέτοιο ώστε ο κύκλος να εφάπτεται της ευθείας $y=\dfrac{3}{4}x$ .

Προαιρετικά λύστε το πρόβλημα χωρίς χρήση καρτεσιανού λογισμού .

Λήψη ggb

Καλησπέρα,
Μια λύση "άνευ" με χρήση ομοιοθεσίας,
Κατασκευάζω κύκλο εφαπτόμενο στην $y=\dfrac{3}{4}x$ με τυχαίο κέντρο

στην

.
Ενώνω το σημείο επαφής

με το "πίσω" άκρο της διαμέτρου

.
Απο το

φέρνω παράλληλη στην

και απο την τομή

της

με την $y=\dfrac{3}{4}x$ φέρνω κάθετη για να εντοπίσω το ζητούμενο

.

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Ιουν 10, 2026 11:38 am Με και άνευ.pngΣτην ευθεία εντοπίστε σημείο , τέτοιο ώστε ο κύκλος να εφάπτεται της ευθείας $y=\dfrac{3}{4}x$ .

Προαιρετικά λύστε το πρόβλημα χωρίς χρήση καρτεσιανού λογισμού .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος:

: Με και άνευ.png (15.44 KiB) Προβλήθηκε 121 φορές

\tan \theta = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \sin \theta = \dfrac{3}{5} = \dfrac{r}{{x + r}} \Leftrightarrow x = \dfrac{{2r}}{3}

Αλλά,

x+2r=10,

οπότε

\dfrac{{2r}}{3} + 2r = 10,

απ' όπου,

\boxed{r=\dfrac{15}{4}}

Nikitas K. · #4

KARKAR έγραψε: Τετ Ιουν 10, 2026 11:38 am Με και άνευ.pngΣτην ευθεία εντοπίστε σημείο , τέτοιο ώστε ο κύκλος να εφάπτεται της ευθείας $y=\dfrac{3}{4}x$ .

Προαιρετικά λύστε το πρόβλημα χωρίς χρήση καρτεσιανού λογισμού .

Λήψη ggb

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο

\triangle OBK

έχουμε ότι:

OK = 5k

Επειδή

5k + 3k = 10

προκύπτει ότι

k = \dfrac{5}{4}

#5

Και οι τρεις λύσεις μου αρέσουν

#6

KARKAR έγραψε: Τετ Ιουν 10, 2026 11:38 am Με και άνευ.pngΣτην ευθεία εντοπίστε σημείο , τέτοιο ώστε ο κύκλος να εφάπτεται της ευθείας $y=\dfrac{3}{4}x$ .

Προαιρετικά λύστε το πρόβλημα χωρίς χρήση καρτεσιανού λογισμού .

Η σταθερή κάθετος στην

στο

τέμνει τη δεδομένη ( πλάγια) ευθεία στο

.

Η διχοτόμος της

\widehat {OSA}

τέμνει την

στο κέντρο ,

, του κύκλου που θέλω.

: και άνευ_Ευκλείδεια.png (12.12 KiB) Προβλήθηκε 58 φορές

Υπάρχει παρόμοια λύση με τον κύκλο του Απολλώνιου ( βάση

και λόγο $\dfrac{5}{3}$ )

Και μια « ανέντιμη» .

: και άνευ_Ευκλείδεια.png (12.12 KiB) Προβλήθηκε 58 φορές

Η παραβολή με εστία το

και διευθετούσα την ,

\boxed{y = \dfrac{3}{4}x}

τέμνει την

στο κέντρο ,

του κύκλου που θέλω .

#7

KARKAR έγραψε: Τετ Ιουν 10, 2026 11:38 am Με και άνευ.pngΣτην ευθεία εντοπίστε σημείο , τέτοιο ώστε ο κύκλος να εφάπτεται της ευθείας $y=\dfrac{3}{4}x$ .

Προαιρετικά λύστε το πρόβλημα χωρίς χρήση καρτεσιανού λογισμού .

: με και άνευ.png (19.16 KiB) Προβλήθηκε 54 φορές

.
Το κάνω γενικότερα για οποιεσδήποτε τεμνόμενες ευθείες

\epsilon _1, \, \epsilon _2

και δοδέν σημείο

στην πρώτη. Υπόψη ότι όλες οι παραπάνω λύσεις προσαρμόζονται εύκολα για την γενική περίπτωση.

Παίρνουμε την συμμετρική

\epsilon_ 3

της

\epsilon _ 2

ως προς την

\epsilon_ 1

. Λύνουμε το κλασικό πρόβλημα του Απολλωνίου της εύρεσης κύκλου που εφάπτεται στις

\epsilon _2, \, \epsilon _3

και διέρχεται από το

(υπάρχουν δύο τέτοιοι). Λόγω συμμετρίας το κέντρο

του κύκλου βρίσκεται στην $\epsilon _1$ . Τελειώσαμε.

athanasio · #8

Doloros έγραψε: Τετ Ιουν 10, 2026 6:16 pm
KARKAR έγραψε: Τετ Ιουν 10, 2026 11:38 am Με και άνευ.pngΣτην ευθεία εντοπίστε σημείο , τέτοιο ώστε ο κύκλος να εφάπτεται της ευθείας $y=\dfrac{3}{4}x$ .

Προαιρετικά λύστε το πρόβλημα χωρίς χρήση καρτεσιανού λογισμού .
Η σταθερή κάθετος στην στο τέμνει τη δεδομένη ( πλάγια) ευθεία στο .

Η διχοτόμος της $\widehat {OSA}$ τέμνει την στο κέντρο , , του κύκλου που θέλω.

και άνευ_Ευκλείδεια.png

Κι αυτή πολύ ωραία λύση! Ίσως η πιο καλή (λόγω απλότητας).

Με και άνευ

Με και άνευ

Re: Με και άνευ

Re: Με και άνευ

Re: Με και άνευ

Re: Με και άνευ

Re: Με και άνευ

Re: Με και άνευ

Re: Με και άνευ

Μέλη σε σύνδεση