Αμήχανη μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Αμήχανη μεγιστοποίηση.png (18.28 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές

Σε κύκλο

εγγράφουμε ένα ( μεταβλητό ) ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC)

και

ονομάζουμε M , N

, τα μέσα των BC , AC

. Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου OMN

.

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 09, 2026 5:44 pm Αμήχανη μεγιστοποίηση.pngΣε κύκλο εγγράφουμε ένα ( μεταβλητό ) ισοσκελές τρίγωνο και

ονομάζουμε , τα μέσα των . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Με τη βοήθεια του παρακάτω σχήματος:

: Αμήχανη μεγιστοποίηση.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές

(OMN) = \frac{1}{2}OM \cdot TN = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt {4{r^2} - {a^2}} }}{2} \cdot \frac{a}{4} = \frac{{a\sqrt {4{r^2} - {a^2}} }}{{16}} \leqslant \frac{{{r^2}}}{8},

αφού η παραπάνω σχέση καταλήγει στην

(2r^2-a^2)^2\ge 0).

Άρα,

\boxed{{(OMN)_{\max }} = \dfrac{{{r^2}}}{8}}

όταν

\boxed{a=r\sqrt 2}

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 09, 2026 5:44 pm Αμήχανη μεγιστοποίηση.pngΣε κύκλο εγγράφουμε ένα ( μεταβλητό ) ισοσκελές τρίγωνο και

ονομάζουμε , τα μέσα των . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

: Αμηχ.png (20.11 KiB) Προβλήθηκε 35 φορές

.
Έστω

το μέσον της

, οπότε

NK||AM

και

(OMN)=(OMK)

. Επειδή

(OMK)= \dfrac {1}{4} (OBC)

, ουσιαστικά θέλουμε το μέγιστο του (ισοσκελούς) τριγώνου OBC

. Είναι σαφές ότι αυτό ισχύει όταν

\theta =90^o

(διότι

(OBC)= \frac {1}{2} r^2 \sin \theta

), στην οποία περίπτωση είναι

(OBC)_{max}= \frac {1}{2} r^2

, οπότε

\boxed {(OMN)_{max}= \frac {1}{8} r^2}

.

Αμήχανη μεγιστοποίηση

Αμήχανη μεγιστοποίηση

Re: Αμήχανη μεγιστοποίηση

Re: Αμήχανη μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση