Αναζητώντας την ορθότητα

KARKAR · #1

: Αναζητώντας την ορθότητα.png (5.78 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές

Να αχθεί ευθεία διερχόμενη από το σημείο

S(-3,5)

και τέμνουσα τις : y=3

και :

, στα σημεία

A , B

αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : $\widehat{AOB}=90^0$ . Ευκλείδεια αντιμετώπιση πριμοδοτείται ισχυρά .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 14, 2026 9:10 am Αναζητώντας την ορθότητα.pngΝα αχθεί ευθεία διερχόμενη από το σημείο $S(-3,5)$ και τέμνουσα τις : και : , στα σημεία

αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : $\widehat{AOB}=90^0$ . Ευκλείδεια αντιμετώπιση πριμοδοτείται ισχυρά .

: αναζητώντας.png (45.67 KiB) Προβλήθηκε 111 φορές

.
Ανάλυση: Ψάχνουμε το ημικύκλιο διαμέτρου AB=2R

το οποίο διέρχεται από το

. Το κέντρο του

βρίσκεται στην μεσοπαράλληλο των

y=\pm3

, δηλαδή βρίσκεται στον άξονα των

. Αλλά τότε η καθετότητα της

με τον άξονα των

μας λέει ότι ο εν λόγω κύκλος εφάπτεται του άξονα των

.

Aν

CK=a

, τότε η ακτίνα είναι

R=a-3

. Επίσης από την ομοιότητα των τριγώνων

SEA, SCK

έχουμε

\dfrac {SE}{EA} = \dfrac {SC}{CK}

, ισοδύναμα

\dfrac {2}{EA} = \dfrac {3}{a}

. Άρα

EA= \dfrac {2}{5}a

και όμοια

DB= \dfrac {8}{5}a

.

Βρίσκουμε τώρα την δύναμη του σημείου

με δύο τρόπους. Από την μία είναι

SA\cdot SB= \sqrt {2^2+EA^2} \cdot \sqrt {8^2+BD^2}= \sqrt {2^2+ \dfrac {4}{25}a^2 } \cdot \sqrt {8^2+ \dfrac {64}{25}a ^2}= 16+ \dfrac {16}{25}a ^2

Από την άλλη η δύναμη σημείου είναι

d^2(S,K)- R^2= (5^2+a^2)-(a-3)^2

Εξισώνοντας τα δύο θα βρούμε

a=\dfrac {75}{8}

, οπότε

\boxed {OK= \dfrac {75}{8}-3=\dfrac {51}{8}}

. Και λοιπά.

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 14, 2026 9:10 am Αναζητώντας την ορθότητα.pngΝα αχθεί ευθεία διερχόμενη από το σημείο $S(-3,5)$ και τέμνουσα τις : και : , στα σημεία

αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : $\widehat{AOB}=90^0$ . Ευκλείδεια αντιμετώπιση πριμοδοτείται ισχυρά .

: αναζητώντας 2.png (46.88 KiB) Προβλήθηκε 101 φορές

.
Ας δούμε λύση και με Αναλυτική Γεωμετρία καθώς α) βγαίνει απλά χωρίς να χάνει το ενδιαφέρον της ως μέθοδος και β) η ίδια η εκφώνηση της αρχικής άσκησης είναι διατυπωμένη με όρους Αναλυτικής Γεωμετρίας (Καρτεσιανό επίπεδο, συντεταγμένες και λοιπά).

Έστω y=mx+c

η ζητούμενη ευθεία. Αφού διέρχεται από το

(-3,5)

είναι

5=-3m+c

, οπότε τελικά η ευθεία είναι η

\boxed {y=mx+3m+5}

Θέτοντας

βρίσκουμε ότι το σημείο

είναι το

A\left (-\dfrac {3m+2}{m}, \, 3 \right )

.

Όμοια το

είναι το

B\left (-\dfrac {3m+8}{m}, \, -3 \right )

. Άρα από τις κλίσεις των

OA,\, OB

η καθετότητά τους δίνει

-\dfrac {3m}{3m+2}\cdot \dfrac {3m}{3m+8} = -1

από όπου (πρωτοβάθμια)

m= -\dfrac {8}{15}

. Άρα η ευθεία είναι η

\boxed {y=-\dfrac {8}{15}x+\dfrac {51}{15}}

. Και λοιπά.

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 14, 2026 9:10 am Αναζητώντας την ορθότητα.pngΝα αχθεί ευθεία διερχόμενη από το σημείο $S(-3,5)$ και τέμνουσα τις : και : , στα σημεία

αντίστοιχα , έτσι ώστε να είναι : $\widehat{AOB}=90^0$ . Ευκλείδεια αντιμετώπιση πριμοδοτείται ισχυρά .

: αναζητώντας 3.png (18.17 KiB) Προβλήθηκε 82 φορές

.
Νομίζω ότι η ενδεδειγμένη κατασκευή είναι η παρακάτω. Το κάνω για την γενική περίπτωση ευθειών

y=\pm a

και σημείου

εκτός αυτών.

Γράφουμε τον κύκλο κέντρου

και ακτίνας

OD=OF

, δηλαδή το μισό της απόστασης των ευθειών, εδώ

. Φέρνουμε από το

την εφαπτομένη

του κύκλου. Είναι η ζητούμενη διότι από την ισότητα των τριών ορθογωνίων τριγώνων

AOC, \, AFC, \, ODE

(άμεσο), προκύπτει η ισότητα των τριών γωνιών $\theta$ . Από εκεί προκύπτει εύκολα ότι η $\widehat {AOB}$ είναι ορθή. Τελειώσαμε.

kfd · #5

Λύση και η x=-3

.

Αναζητώντας την ορθότητα

Αναζητώντας την ορθότητα

Re: Αναζητώντας την ορθότητα

Re: Αναζητώντας την ορθότητα

Re: Αναζητώντας την ορθότητα

Re: Αναζητώντας την ορθότητα

Μέλη σε σύνδεση