Ίσα πηλίκα και υπόλοιπα

[Al.Koutsouridis]

α) Ο Πέτρος διαίρεσε με υπόλοιπο, έναν φυσικό αριθμό με το άθροισμα των ψηφίων του. Το πηλίκο και το υπόλοιπο του προέκυψαν ίσα με . Ο δάσκαλός του ανέφερε ότι άφησε λάθος. Να δείξετε ότι ο δάσκαλος είναι σωστός.

β) Το ίδιο ερώτημα αν το υπόλοιπο και το πηλίκο είναι ίσα με .


Το ερώτημα (α) είναι κατάλληλο και για μικρότερες τάξεις.

[Mihalis_Lambrou]

α) Ο Πέτρος διαίρεσε με υπόλοιπο, έναν φυσικό αριθμό με το άθροισμα των ψηφίων του. Το πηλίκο και το υπόλοιπο του προέκυψαν ίσα με . Ο δάσκαλός του ανέφερε ότι άφησε λάθος. Να δείξετε ότι ο δάσκαλος είναι σωστός.

β) Το ίδιο ερώτημα αν το υπόλοιπο και το πηλίκο είναι ίσα με .


Το ερώτημα (α) είναι κατάλληλο και για μικρότερες τάξεις.

α) Θα είχαμε , όπου ο αριθμός και το άθροισμα των ψηφίων του. Επειδή είναι , η δίνει ισότητα της μορφής . Άτοπο, και ο δάσκαλος έχει δίκιο.

β) Ναι, είναι εφικτό, όπως δείχνει το παράδειγμα , που είναι της μορφής . Πώς το βρήκα; Φυσικά όχι στα κουτουρού. Το αφήνω ως άσκηση. Χρειάζονται μόνο λίγες δοκιμές με κομποιουτεράκι.

[Al.Koutsouridis]

β) Ναι, είναι εφικτό, όπως δείχνει το παράδειγμα , που είναι της μορφής . Πώς το βρήκα; Φυσικά όχι στα κουτουρού. Το αφήνω ως άσκηση. Χρειάζονται μόνο λίγες δοκιμές με κομποιουτεράκι.

Καλησπέρα κ. Μιχάλη. Πιθανόν να μην είναι καθαρό από την εκφώνηση, αλλά το πρόβλημα υποθέτει το υπόλοιπο να είναι μικρότερο του διαιρέτη. Σύμφωνα με το σχήμα της Ευκλείδειας Διαίρεσης με . Αφήνουμε ανοιχτά λοιπόν την δικαιολόγηση για το παράδειγμά σας (καλό) και την λύση του (β) ερωτήματος για υπόλοιπο μικρότερο του διαιρέτη.

[Mihalis_Lambrou]

Aλέξανδρε, ευχαριστώ για την διευκρίνηση,

Όμως μένω ακόμα με την απορία, δεδομένου ότι γράφεις ρητά

... αν το υπόλοιπο και το πηλίκο είναι ίσα με .

αντίθετα από αυτό που ζητά η Ευκλείδεια διαίρεση. Ας ξεκαθαρίσουμε λοιπόν, στην σχέση με ποιο από τα δύο θέλεις να είναι ; Το και άρα το , ή μήπως το και άρα το ; Δεν μου είναι σαφές.

Η αλήθεια είναι ότι ούτε η φράση

. Ο δάσκαλός του ανέφερε ότι άφησε λάθος.

μου είναι απόλυτα σαφής αλλά την ερμήνευσα ως κάτι που μου φαινόνταν λογικό. Πάντως τι ακριβώς εννοείς όταν λες "αφήνω λάθος". Πώς παίρνουμε ή αφήνουμε ένα λάθος; Πρόκειται για ασυνταξία ή εννοείς κάτι συγκεκριμένο;

Πάντως να ΄σαι καλά και ευχαριστούμε για τις απίθανες ασκήσεις που μας προτείνεις, από βιβλιογραφία που είναι μεν εξαιρετική αλλά δυστυχώς απρόσιτη (σε μένα και) στους πολλούς.

[Al.Koutsouridis]

Aλέξανδρε, ευχαριστώ για την διευκρίνηση,

Όμως μένω ακόμα με την απορία, δεδομένου ότι γράφεις ρητά

... αν το υπόλοιπο και το πηλίκο είναι ίσα με .

αντίθετα από αυτό που ζητά η Ευκλείδεια διαίρεση. Ας ξεκαθαρίσουμε λοιπόν, στην σχέση με ποιο από τα δύο θέλεις να είναι ; Το και άρα το , ή μήπως το και άρα το ; Δεν μου είναι σαφές.

Η αλήθεια είναι ότι ούτε η φράση

. Ο δάσκαλός του ανέφερε ότι άφησε λάθος.

μου είναι απόλυτα σαφής αλλά την ερμήνευσα ως κάτι που μου φαινόνταν λογικό. Πάντως τι ακριβώς εννοείς όταν λες "αφήνω λάθος". Πώς παίρνουμε ή αφήνουμε ένα λάθος; Πρόκειται για ασυνταξία ή εννοείς κάτι συγκεκριμένο;

Πάντως να ΄σαι καλά και ευχαριστούμε για τις απίθανες ασκήσεις που μας προτείνεις, από βιβλιογραφία που είναι μεν εξαιρετική αλλά δυστυχώς απρόσιτη (σε μένα και) στους πολλούς.

Η αλήθεια είναι προσπαθώ να κρατήσω τις μεταφράσεις πάντα κοντά στο ύφος και χροιά του πρωτότυπου. Θα μπορούσα να γράψω κατευθείαν ποιος είναι ο διαιρέτης, ποιο το υπόλοιπο κτλ. Έτσι όμως θα χανόταν η διαδικασία που χρειάζεται ο μαθητής για να μετατρέψει την λεκτική περιγραφή σε μαθηματική γλώσσα. Δεν το πετυχαίνω πάντα και πιθανόν να αφήνω λάθη και ασάφειες.

Επειδή το πρόβλημα κανονικά είναι για την 8η τάξη, κοίταξα τον ορισμό της Ευκλείδειας διαίρεσης που έχει στα βιβλία του Γυμνασίου. (π.χ. εδώ http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547 ... xA1_4.html). Δηλαδή όπως ανέφερα στην προηγούμενη δημοσίευση με . Σύμφωνα με αυτή την μορφή, από την στιγμή που αναφέρεται στην εκφώνηση ποιο είναι το πηλίκο και ποιό το υπόλοιπο, είναι σαφές ποιος είναι και ο διαιρέτης. Με αποτέλεσμα, να μπορούμε να συμπεράνουμε ότι πρέπει να είναι μεγαλύτερος του .

Δίνω την "ακριβή" μετάφραση του προβλήματος:

"Ο Πέτρος διαίρεσε με υπόλοιπο, έναν φυσικό αριθμό με το άθροισμα των ψηφίων του. Το πηλίκο και το υπόλοιπο του προέκυψαν ίσα με . H δασκάλα έβαλε στον Πέτρο βαθμό ( είναι το άριστα, η βάση, κάτω από την βάση). Να αποδείξετε ότι η δασκάλα έχει δίκιο."

Ίσως θα έπρεπε να το αφήσω έτσι. Το είναι ισουπόλοιπο με το ως προς την διαίρεση με το . Οπότε το πρόβλημα, έτσι όπως το έθεσα, είναι ισοδύναμο με το αρχικό.

Το (β) ερώτημα, για το , είναι δικό μου. Γιατί το πρώτο ερώτημα μπορεί να λυθεί και με άλλο τρόπο, με ύλη πιθανόν Λυκείου, και η λύση "ταιριάζει" και για το , το οποίο και διανύουμε.

Αυτές ήταν πάνω κάτω οι σκέψεις...

[Mihalis_Lambrou]

Αλέξανδρε, ευχαριστώ για τις διευκρινίσεις.

Ας λύσουμε λοιπόν την αρχική άσκηση, δηλαδή το α).

α) Ο Πέτρος διαίρεσε με υπόλοιπο, έναν φυσικό αριθμό με το άθροισμα των ψηφίων του. Το πηλίκο και το υπόλοιπο του προέκυψαν ίσα με . Ο δάσκαλός του ανέφερε ότι άφησε λάθος. Να δείξετε ότι ο δάσκαλος είναι σωστός.

β) Το ίδιο ερώτημα αν το υπόλοιπο και το πηλίκο είναι ίσα με .

Θέλουμε λοιπόν έναν αριθμό τέτοιον ώστε (όπου αλλά αυτό δεν θα χρειαστεί).

Παίρνουμε μόντουλο . Επειδή από ιδιότητα της διαίρεσης δια είναι , η σχέση δίνει , για κάποιον . Άτοπο.
Άρα δεν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί, και η Δασκάλα έχει δίκιο.