Τουλάχιστον

KARKAR · #1

Υπολογίστε το ελάχιστο της παράστασης : $\sqrt{(2x+3)^2+144}+2\sqrt{(x-2)^2+36}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 15, 2018 2:28 pm
Υπολογίστε το ελάχιστο της παράστασης : $\sqrt{(2x+3)^2+144}+2\sqrt{(x-2)^2+36}$

για $x=\dfrac{1}{4}$ . Αργότερα η λύση αν δεν απαντηθεί.

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης. Έχω λύση με υποτείνουσες ορθογωνίων τριγώνων (και κοινή μία κάθετη πλευρά ίση με ), αλλά δεν μπορώ να τη γράψω γιατί παρουσιάζει πρόβλημα ο υπολογιστής μου. Θα την ανεβάσω μόλις αποκατασταθεί η βλάβη!

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 15, 2018 2:28 pm
Υπολογίστε το ελάχιστο της παράστασης : $\sqrt{(2x+3)^2+144}+2\sqrt{(x-2)^2+36}$

Η παράσταση γράφεται $\displaystyle{2\sqrt{(x+3/2)^2+36}+2\sqrt{(x-2)^2+36}}$ , που είναι το διπλάσιο του αθροίσματος
των αποστάσεων του (x,0)

(που είναι στον άξονα των

) από τα $\displaystyle{A\left (-\frac {3}{2},\, 6\right ), \, B(2,6)}$ (που είναι σε ευθεία
παράλληλη του άξονα των

). Είναι γνωστό και απλό να δούμε ότι το ζητούμενο σημείο είναι στην μεσοκάθετο
του

, δηλαδή είναι το $\left ( \frac {1}{2}(-\frac {3}{2}+2),0\right )= (\frac {1}{4}, \, 0)$ . Και λοιπά.

Λάμπρος Κατσάπας · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 15, 2018 2:28 pm
Υπολογίστε το ελάχιστο της παράστασης : $\sqrt{(2x+3)^2+144}+2\sqrt{(x-2)^2+36}$

Καλησπέρα KARKAR.

Η παράστασή μας γράφεται $\sqrt{(2x+3)^2+12^2}+\sqrt{(2x-4)^2+12^2}$

Από Minkowski έχουμε minimum όταν $\frac{|2x+3|}{12}=\frac{|2x-4|}{12}\Leftrightarrow |2x+3|=|2x-4| \Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$ και λοιπά...

#5

Καλησπέρα σε όλους. Περιγράφω παρακάτω μια προσπάθεια εποπτικής αντιμετώπισης του προβλήματος, που βασίζεται στην παρατήρηση ότι το ελάχιστο εμφανίζεται όταν εξισώνονται τα δύο ριζικά.

: 15-11-2018 Γεωμετρία.png (32.23 KiB) Προβλήθηκε 792 φορές

Είναι $\displaystyle {\rm A} = \sqrt {{{(2x + 3)}^2} + 144} + \sqrt {{{(2x - 4)}^2} + 144}$

Έστω o κλάδος υπερβολής C_1

$\displaystyle {\left( {\frac{y}{{12}}} \right)^2} - {\left( {\frac{{2x + 3}}{{12}}} \right)^2} = 1$ με y>0

Έστω o κλάδος υπερβολής C_2

$\displaystyle {\left( {\frac{y}{{12}}} \right)^2} - {\left( {\frac{{2x - 4}}{{12}}} \right)^2} = 1$ με y>0

Τέμνονται όταν $\displaystyle \sqrt {{{(2x + 3)}^2} + 144} = \sqrt {{{(2x - 4)}^2} + 144} \Leftrightarrow 12x + 9 = - 16x + 16 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$ ,
δηλαδή στο σημείο $\displaystyle M\left( {\frac{1}{4},\;\frac{{25}}{2}} \right)$

Έστω o κλάδος υπερβολής C_3

$\displaystyle {\left( {\frac{y}{{12}}} \right)^2} - {\left( {\frac{{2x - 4}}{{12}}} \right)^2} = 1$ με y<0

.

Τότε, για $\displaystyle x \ge \frac{1}{4}$ , η τιμή της παράστασης

είναι η κατακόρυφη απόσταση σημείων B, D

στις

αντίστοιχα. Η

τέμνει τον x’x

στο

και τη

στο

.

Όμως, λόγω συμμετρίας, είναι BD=BE+2EK

με ελάχιστη τιμή 2AK=25

.

Ομοίως για $\displaystyle x \le \frac{1}{4}$ .

Το συμπέρασμα με τα κόκκινα γράμματα δεν το έχω αποδείξει αλγεβρικά.

KARKAR · #6

: Εξηγήσεις.png (6.56 KiB) Προβλήθηκε 768 φορές

Η τεχνική της δημιουργίας αυτού του τύπου ασκήσεων : Επιλέγουμε σημεία A,B

που να έχουν ακέραια απόσταση .

Εδώ χρησιμοποιήσαμε την πυθαγόρεια τριάδα ( 3,4,5)

. Επειδή $AB\leq SA+SB$ και :

$SA+SB=\sqrt{(x-1)^2+4}+\sqrt{(x-4)^2+4}$ , το ελάχιστο της παράστασης

επιτυγχάνεται όταν το

βρεθεί πάνω στο τμήμα

κ.λ.π.

Στην άσκηση χρησιμοποίησα την τριάδα (7,24,25)

, την οποία για να "κρύψω" διαίρεσα δια

και με λίγη άλγεβρα προέκυψε η συγκεκριμένη εκφώνηση . Φυσικά ανέμενα και άλλες προσεγγίσεις

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 15, 2018 2:28 pm
Υπολογίστε το ελάχιστο της παράστασης : $\sqrt{(2x+3)^2+144}+2\sqrt{(x-2)^2+36}$

Σε ευθύγραμμο τμήμα BC=7,

θεωρώ σημείο

ώστε

και

(*) και υψώνω κάθετη DA=12.

: Τουλάχιστον.png (7.39 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

Προφανώς αναζητούμε την ελάχιστη τιμή του αθροίσματος AB+AC.

Αλλά, απ' όλα τα τρίγωνα με σταθερή βάση και ύψος σε αυτήν, το ισοσκελές έχει

την ελάχιστη περίμετρο. Άρα, $\displaystyle AB = AC \Leftrightarrow BD = DC \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{1}{4}}$ και $\boxed{{(AB + AC)_{\min }} = 25}$

(*) Αν το

βρίσκεται στην προέκταση του

προς το

τότε παίρνω BD=2x+3, DC=2x-4,

ενώ αν είναι προς το μέρος του

τότε

Τουλάχιστον

Τουλάχιστον

Re: Τουλάχιστον

Re: Τουλάχιστον

Re: Τουλάχιστον

Re: Τουλάχιστον

Re: Τουλάχιστον

Re: Τουλάχιστον

Μέλη σε σύνδεση