Τόπος για ισότητα

KARKAR · #1

: Τόπος για ισότητα.png (16.09 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

Το σημείο

του πρώτου τεταρτημορίου , βρίσκεται "ψηλότερα" από την ευθεία : y=x

και το

είναι

η προβολή του στον x'x

. Ο κύκλος διαμέτρου AA'

τέμνει την y=x

στα σημεία B , C

, των οποίων

οι προβολές στον x'x

είναι τα

. Βρείτε τον γεωμ. τόπο του

, ώστε : (BB'A')=(CC'A')

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 27, 2023 10:59 am
Τόπος για ισότητα.pngΤο σημείο του πρώτου τεταρτημορίου , βρίσκεται "ψηλότερα" από την ευθεία : και το είναι

η προβολή του στον . Ο κύκλος διαμέτρου τέμνει την στα σημεία , των οποίων

οι προβολές στον είναι τα . Βρείτε τον γεωμ. τόπο του , ώστε :

: Τόπος για ισότητα.png (19.02 KiB) Προβλήθηκε 556 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

vgreco · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 27, 2023 10:59 am
Τόπος για ισότητα.pngΤο σημείο του πρώτου τεταρτημορίου , βρίσκεται "ψηλότερα" από την ευθεία : και το είναι

η προβολή του στον . Ο κύκλος διαμέτρου τέμνει την στα σημεία , των οποίων

οι προβολές στον είναι τα . Βρείτε τον γεωμ. τόπο του , ώστε :

: topos_gia_isothta.png (23.88 KiB) Προβλήθηκε 541 φορές

Οι συντεταγμένες φαίνονται στο σχήμα. Αφού τα δύο τρίγωνα έχουν ίδιο εμβαδόν:

$\displaystyle{ (BB'A') = (CC'A') \Leftrightarrow k(a - k) = m(m - x) \Leftrightarrow a = \dfrac{k^2 + m^2}{k + m} \Leftrightarrow \boxed{a = k + m - \dfrac{2km}{k + m}} \quad (1) }$

Τα

,

είναι τα σημεία τομής της y = x

με τον κύκλο διαμέτρου AA'

:

$\displaystyle{ (x - a)^2 + \left( x - \dfrac{b}{2} \right)^2 = \dfrac{b^2}{4} \Leftrightarrow 2x^2 - (2a + b)x + a^2 = 0 }$

Από τύπους $\rm Vieta$ :

$\displaystyle{ \bullet \ k + m = \dfrac{2a + b}{2} \quad \quad \bullet \ km = \dfrac{a^2}{2} }$

οπότε με αντικατάσταση στην (1)

παίρνουμε:

$\displaystyle{ a = \dfrac{2a + b}{2} - \dfrac{a^2}{\dfrac{2a + b}{2}} \Leftrightarrow 4a^2 - 2ab - b^2 = 0 }$

που δεν είναι δύσκολο να διαπιστώσουμε ότι παριστάνει τις ευθείες $y = -x \pm x\sqrt{5}$ . Επειδή $a, b \geq 0$ , ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία $\boxed{y = \left( \sqrt5 - 1 \right)x}$ , $x \geq 0$ .

Τόπος για ισότητα

Τόπος για ισότητα

Re: Τόπος για ισότητα

Re: Τόπος για ισότητα

Μέλη σε σύνδεση