Γωνιολογία

KARKAR · #1

: Γωνιολογία.png (18.54 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

Το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς

, του ρόμβου ABCD

.

Δείξτε ότι : $\omega >2\theta$ . Ποια ιδιότητα του ρόμβου μας δίνει : $\omega=\phi$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 26, 2025 7:54 pm
Γωνιολογία.pngΤο σημείο είναι το μέσο της πλευράς , του ρόμβου .

Δείξτε ότι : $\omega >2\theta$ . Ποια ιδιότητα του ρόμβου μας δίνει : $\omega=\phi$ ;

.
Θα χρησιμοποιήσω το γνωστό γεγονός ότι στο πρώτο τεταρτημόριο, η συνάρτηση $\dfrac {\sin x}{x}$ είναι γνήσια φθίνουσα. Η απόδειξή του είναι απλή με παραγώγιση αλλά προσθέτω ότι η ιδιότητα αυτή, σε ισοδύναμη μορφή, ήταν γνωστή στους αρχχαίους Έλληνες. Συγκεκριμένα, υπάρχει απόδειξή της, με καθαρά Γεωμετρικά μέσα, στην Μεγίστη Σύνταξη του Πτολεμαίου.

Με αυτό ως δεδομένο, έχουμε $\dfrac {\sin \omega}{\omega} < \dfrac {\sin \theta }{\theta }$ , ισοδύναμα $\dfrac {\sin \omega}{\sin \theta} < \dfrac {\omega} {\theta }$ .

Tώρα, επειδή το τρίγωνο BMC

έχει διπλάσιο εμβαδόν από το CMD

(άμεσο), έχουμε

$2= \dfrac {(BMC)}{(CMD) } = \dfrac {\frac {1}{2} BC\cdot CM \sin \omega}{\frac {1}{2} CD \cdot CM \sin \theta} = \dfrac {\sin \omega}{\sin \theta } <\dfrac {\omega } {\theta }$ .

Άρα $2\theta < \omega$ , όπως θέλαμε.

Για το δεύτερο ερώτημα, αν $\omega=\phi$ , τότε BM=BC=CA

. Άρα το

είναι ισοσκελές με πλευρές $a, a, \dfrac {a}{2}$ . Άρα από τον νόμο των συνημιτόνων στο ABM

έχουμε

$a^2=a^2+ \dfrac {a^2}{4} -2\dfrac {a\cdot a }{2} \cos A$ , δηλαδή $\boxed {\cos A = \dfrac {1}{4} }$

#3

Παραλλαγή επί το απλούστερον: Φέρνουμε MN//CD

, οπότε

. Άρα από τον Νόμο των ημιτόνων

$2= \dfrac {MN}{CN}= \dfrac {\sin \omega}{\sin \theta } < \dfrac {\omega }{\theta}$ , όπως θέλαμε.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 26, 2025 7:54 pm
Γωνιολογία.pngΤο σημείο είναι το μέσο της πλευράς , του ρόμβου .

Δείξτε ότι : $\omega >2\theta$ . Ποια ιδιότητα του ρόμβου μας δίνει : $\omega=\phi$ ;

Αλλιώς για το α).

: Γωνιωλογία.α.png (8.8 KiB) Προβλήθηκε 717 φορές

Η

είναι εσωτερική της γωνίας $A\widehat CD.$ Άρα, $\displaystyle B\widehat CM > B\widehat CA \Leftrightarrow \omega > \frac{{\omega + \theta }}{2} \Leftrightarrow \omega > \theta$

Άκυρο! Έλυσα άλλη άσκηση

Γωνιολογία

Γωνιολογία

Re: Γωνιολογία

Re: Γωνιολογία

Re: Γωνιολογία

Μέλη σε σύνδεση