Διπλή ισότητα

KARKAR · #1

: Διπλή ισότητα.png (17.75 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές

Η ευθεία $y=mx , m>\frac{\sqrt{k^2-r^2}}{r}$ , τέμνει τον κύκλο x^2+(y-k)^2=r^2 , (0<r<k)

στα σημεία A , B

.

Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα A , B

, τέμνουν τον οριζόντιο άξονα στα σημεία S , P

, αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι : AS=BP

και υπολογίστε το καθένα από αυτά .

β) Δείξτε ότι : OS=OP

και υπολογίστε το καθένα από αυτά .

γ) Εξηγήστε τον περιορισμό για την κλίση

της ευθείας .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 22, 2025 8:02 am
Διπλή ισότητα.png,

Η ευθεία $y=mx , m>\dfrac{\sqrt{k^2-r^2}}{r}$ , τέμνει τον κύκλο στα σημεία .

Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα , τέμνουν τον οριζόντιο άξονα στα σημεία , αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι : και υπολογίστε το καθένα από αυτά .

β) Δείξτε ότι : και υπολογίστε το καθένα από αυτά .

γ) Εξηγήστε τον περιορισμό για την κλίση της ευθείας .

Το τετράπλευρο KOPB

έχει τις γωνίες του στα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,O$ , άρα είναι εγγράψιμο . στο δε τετράπλευρο KAOS

Τα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,O$ βλέπουν την

υπό ίσες και μάλιστα ορθές γωνίες , άρα κι αυτό είναι εγγράψιμο .

Θα είναι έτσι ταυτόχρονα : $\widehat {a_2^{}} = \widehat {a_0^{}}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {a_0^{}} = \widehat {a_3^{}} \Rightarrow \widehat {a_2^{}} = \widehat {a_3^{}}$ . Θα είναι έτσι και το KTPS

εγγράψιμο .

Τώρα τα ορθογώνια τρίγωνα $AKS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BKP$ είναι ίσα , οπότε ισχύουν και οι δύο ισότητας που ζητούνται.

: Διπλή ισότητα.png (24.43 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές

Η απόσταση του

από την ευθεία με εξίσωση , $\varepsilon :\,\,mx - y = 0$ πρέπει να είναι μικρότερη από την ακτίνα

.

Με βάση τα δεδομένα προκύπτει εύκολα η συνθήκη αυτή .

Για τους υπολογισμούς μερικά

Ας είναι $A\left( {a,am} \right)\,\,\,,\,\,K\left( {0,k} \right)$ . Επειδή $\overrightarrow {KA} = \left( {a,am - k} \right)$ έχω : $K{A^2} = {a^2} + {\left( {am - k} \right)^2} = {r^2}$ και προκύπτει , $a = \dfrac{{\sqrt {{r^2}\left( {{m^2} + 1} \right) - {k^2}} + km}}{{{m^2} + 1}}$

Είτε , $a = \dfrac{{ - \sqrt {{r^2}\left( {{m^2} + 1} \right) - {k^2}} + km}}{{{m^2} + 1}}$ . Τετμημένες των A,B

. Θα συνεχίσω με την πρώτη περίπτωση .
.

: Διπλή ισότητα_new.png (32.84 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές

.
Η εφαπτομένη του κύκλου στο

έχει εξίσωση : $ax + \left( {am - k} \right)y - \left[ {k\left( {am - k} \right) + {r^2}} \right] = 0$ και για y = 0

προκύπτει η τετμημένη του

, ήτοι , $x = \dfrac{{k\left( {am - k} \right) + {r^2}}}{a}$ . Τα υπόλοιπα είναι απλά . Για επαλήθευση : $k = 8\,\,,\,\,m = \dfrac{4}{3}\,\,,\,\,r = 5$ θα προκύψει:

a = 3

ή $a = \dfrac{{117}}{{25}}$ και ${x_S} = - \dfrac{7}{3}$

Διπλή ισότητα

Διπλή ισότητα

Re: Διπλή ισότητα

Μέλη σε σύνδεση