Μεγαλομανία

KARKAR · #1

: Μεγαλομανία.png (7.1 KiB) Προβλήθηκε 771 φορές

Σημείο

κινείται στο σκέλος

τριγώνου , με ABC , AB=AC=b , BC=a

, $(a\neq b)$ .

α) Για ποια θέση του

ελαχιστοποιείται το άθροισμα τετραγώνων : SA^2+SB^2+SC^2

;

β) Αν κατά την στιγμή της ελαχιστοποίησης είναι SC=2SA

, υπολογίστε την γωνία $\hat{C}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 10, 2020 10:24 am
Σημείο κινείται στο σκέλος τριγώνου , με , $(a\neq b)$ .

α) Για ποια θέση του ελαχιστοποιείται το άθροισμα τετραγώνων : ;

β) Αν κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης είναι , υπολογίστε την γωνία $\hat{C}$ .

: μεγαλομανία_Karkar.png (13.12 KiB) Προβλήθηκε 861 φορές

α) Ας είναι AS = x

. 1ο Θ. διαμέσων στο $\vartriangle SBC$ με διάμεσο

και Θ.

στο $\vartriangle MAB$ .

$S{A^2} + S{B^2} + S{C^2} = f(x) = {x^2} + \dfrac{2}{b}\left( {\dfrac{{{a^2}x}}{4} + \left( {b - x} \right)\left( {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} \right) - bx\left( {b - x} \right)} \right) + \dfrac{{{a^2}}}{4}$

που παρουσιάζει ελάχιστο για , $x = \dfrac{{4{b^2} - {a^2}}}{{6b}}$ το : $\dfrac{{8{b^4} + 8{a^2}{b^2} - {a^4}}}{{12{b^2}}}$

το άλλο ερώτημα αργότερα.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 10, 2020 10:24 am
Σημείο κινείται στο σκέλος τριγώνου , με , $(a\neq b)$ .

α) Για ποια θέση του ελαχιστοποιείται το άθροισμα τετραγώνων : ;

β) Αν κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης είναι , υπολογίστε την γωνία $\hat{C}$ .

: Μεγαλομανία.2.png (8.04 KiB) Προβλήθηκε 822 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 10, 2020 10:24 am
Σημείο κινείται στο σκέλος τριγώνου , με , $(a\neq b)$ .

α) Για ποια θέση του ελαχιστοποιείται το άθροισμα τετραγώνων : ;

β) Αν κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης είναι , υπολογίστε την γωνία $\hat{C}$ .

: Μεγαλομανία.2.png (9.16 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές

α) Λόγω του ισοσκελούς είναι $\displaystyle \cos B = \cos C = \frac{a}{{2b}}$ και με νόμο συνημιτόνου στο SBC

βρίσκω

$\displaystyle S{C^2} = {x^2} + {b^2} - 2bx + \frac{{{a^2}}}{b}x.$ Άρα, $\displaystyle S{A^2} + S{B^2} + S{C^2} = 3{x^2} + \left( {\frac{{{a^2} - 4{b^2}}}{b}} \right)x + 2{b^2},$

που ως τριώνυμο παρουσιάζει για $\boxed{x = \frac{{4{b^2} - {a^2}}}{{6b}}}$ ελάχιστη τιμή ίση με $\boxed{K = \frac{{8{b^4} + 8{a^2}{b^2} - {a^4}}}{{12{b^2}}}}$

β) $\displaystyle S{C^2} = 4{x^2}$ και αντικαθιστώντας το

καταλήγω στην εξίσωση: $\displaystyle 3{a^4} - 20{a^2}{b^2} + 20{b^4} = 0,$

απ' όπου παίρνω $\displaystyle \frac{a}{b} = \sqrt {\frac{{10 - 2\sqrt {10} }}{3}} \Rightarrow$ $\boxed{\cos C = \frac{a}{{2b}} = \sqrt {\frac{{5 - \sqrt {10} }}{6}} }$

KARKAR · #5

Γιώργο , παρεξήγηση : Το

κινείται στην

( όχι στην

) , οπότε η γωνία υπολογίζεται ...

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 11, 2020 12:31 pm
Γιώργο , παρεξήγηση : Το κινείται στην ( όχι στην ) , οπότε η γωνία υπολογίζεται ...

Τώρα τα πράγματα είναι απλά. Επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές το αποτέλεσμα του α) ερωτήματος δεν αλλάζει.

$\displaystyle b= 3x = 3\frac{{4{b^2} - {a^2}}}{{6b}} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \cos C = \frac{a}{{2b}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\widehat C = 45^\circ }$ (ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο).

Μεγαλομανία

Μεγαλομανία

Re: Μεγαλομανία

Re: Μεγαλομανία

Re: Μεγαλομανία

Re: Μεγαλομανία

Re: Μεγαλομανία

Μέλη σε σύνδεση