Τρία καλά

KARKAR · #1

: Τρία καλά.png (11.95 KiB) Προβλήθηκε 740 φορές

Στο επίπεδο του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , μεταβλητής ακτίνας

, κινείται σημείο

, με :

.

Βρείτε την μέγιστη τιμή του

, την ακτίνα

καθώς και την $\tan\theta$ , κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 25, 2023 7:15 pm
Τρία καλά.pngΣτο επίπεδο του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , μεταβλητής ακτίνας , κινείται σημείο , με : .

Βρείτε την μέγιστη τιμή του , την ακτίνα καθώς και την $\tan\theta$ , κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .

Από θεώρημα Πτολεμαίου, $\displaystyle 11r \geqslant lr\sqrt 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{l \leqslant \frac{{11}}{{\sqrt 2 }}}$

: Τρία καλά.png (11.24 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές

Το

μεγιστοποιείται λοιπόν όταν το OASB

καταστεί εγγράψιμο, άρα $\displaystyle 2{r^2} = {5^2} + {6^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{r = \sqrt {\frac{{61}}{2}}}$

Με νόμο συνημιτόνου στο OAS

βρίσκω $\displaystyle \cos \theta = \frac{6}{{\sqrt {61} }} \Rightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \frac{5}{6}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 25, 2023 7:15 pm
Τρία καλά.pngΣτο επίπεδο του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , μεταβλητής ακτίνας , κινείται σημείο , με : .

Βρείτε την μέγιστη τιμή του , την ακτίνα καθώς και την $\tan\theta$ , κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .

Μια προσπάθεια .

: τρία καλά_Ανάλυση_1_a_περίπτωση.png (22.24 KiB) Προβλήθηκε 642 φορές

Έστω ότι η γωνία $\widehat {BSA}$ είναι αμβλεία .

Γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle OAB$ και θεωρώ

το σημείο τομής του με την προέκταση της

.

Επειδή το $\vartriangle SOD$ είναι αμβλυγώνιο στο

,

άρα σ αυτή την περίπτωση αποκλείεται να μεγιστοποιείται το l = OS

.

Αφού τώρα η $\widehat {BSA}$ δεν είναι αμβλεία , από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle SBA$ θα έχω:

: τρία καλά_Ανάλυση_1_b_περίπτωση.png (16.98 KiB) Προβλήθηκε 642 φορές

$A{B^2} = S{A^2} + S{B^2} - 2SA \cdot SB\cos \widehat {BSA} \Rightarrow 2{r^2} = 61 - 60\cos \widehat {BSA} \leqslant 61$

και άρα η μέγιστη τιμή του

είναι $\boxed{{r_{max}} = \sqrt {\frac{{61}}{2}} }$ και φυσικά $\boxed{\widehat {BSA} = 90^\circ }$ .

Τώρα από το Θ. του Πτολεμαίου έχω $\boxed{O{S_{\max }} = \frac{{11}}{{\sqrt 2 }}}$ και $\boxed{\tan \theta = \frac{{SA}}{{SB}} = \frac{5}{6}}$ .

Τρία καλά

Τρία καλά

Re: Τρία καλά

Re: Τρία καλά

Μέλη σε σύνδεση