Γεωμετρική παραμόρφωση

KARKAR · #1

: Γεωμετρική παραμόρφωση.png (20.58 KiB) Προβλήθηκε 293 φορές

Υπολογίστε την κάθετη πλευρά

, ώστε τα τμήματα TQ , QP , PS

, να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 05, 2024 5:11 am
Γεωμετρική παραμόρφωση.pngΥπολογίστε την κάθετη πλευρά , ώστε τα τμήματα , να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Από το ημικύκλιο και την ορθή γωνία $\angle A$ προκύπτει ότι:
${{a}^{2}}=CS\cdot CD=CP\cdot CM=CQ\cdot CE=CT\cdot CB$ από την οποία προκύπτουν οι ομοιότητες των ζευγών των τριγώνων $\left( \vartriangle CSP,\vartriangle CMD \right),\left( \vartriangle CPQ,\vartriangle CEM \right),\left( \vartriangle CQT,\vartriangle CBE \right)$ (δύο πλευρές ανάλογες και τις περιεχόμενες γωνίες τους ίσες)

Είναι ${{a}^{2}}=CS\cdot CD\overset{\Pi .\Theta }{\mathop{\Rightarrow }}\,CS=\dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}$ και ομοίως προκύπτει ότι: $CP=\dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+4}},CQ=\dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+9}},CT=\dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+16}}$

Από $\vartriangle CSP\sim \vartriangle CMD\Rightarrow \dfrac{SP}{1}=\dfrac{SC}{CM}\Rightarrow SP=\dfrac{\dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+4}}\Rightarrow SP=\dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{\left( {{a}^{2}}+1 \right)\left( {{a}^{2}}+4 \right)}}$ και με όμοιο ακριβώς τρόπο (από τις άλλες ομοιότητες των τριγώνων ) προκύπτει ότι $PQ=\dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{\left( {{a}^{2}}+4 \right)\left( {{a}^{2}}+9 \right)}}$ και $QT=\dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{\left( {{a}^{2}}+9 \right)\left( {{a}^{2}}+16 \right)}}$

Αφού επιθυμούμε τα τμήματα να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου πρέπει και αρκεί $P{{Q}^{2}}=SP\cdot QT\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{\left( {{a}^{2}}+4 \right)\left( {{a}^{2}}+9 \right)}} \right)}^{2}}=$ $\dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{\left( {{a}^{2}}+4 \right)\left( {{a}^{2}}+9 \right)}}\cdot \dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{\left( {{a}^{2}}+9 \right)\left( {{a}^{2}}+16 \right)}}\overset{a>0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\ldots a=\dfrac{\sqrt{30}}{2}$

Γεωμετρική παραμόρφωση

Γεωμετρική παραμόρφωση

Re: Γεωμετρική παραμόρφωση

Μέλη σε σύνδεση