Σχεδόν ακέραιοι

KARKAR · #1

: Σχεδόν ακέραιοι.png (18.94 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές AB=AC=6

. Στην προέκταση της

, θεωρούμε

σημείο

, τέτοιο ώστε : AS=n

, $n \in [1,2,3,4,5]$ και γράφουμε τον κύκλο (B , C , S )

, κέντρου

.

Η

τέμνει την

στο σημείο

. Υπολογίστε τον λόγο : $\lambda =\dfrac{CO}{OT}$ , για τις πέντε αυτές τιμές του

.

Φυσικά επιδιωκόμενο είναι να βρεθεί το $\lambda$ , ως συνάρτηση του .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 07, 2024 5:19 pm
Σχεδόν ακέραιοι.pngΤο τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Στην προέκταση της , θεωρούμε

σημείο , τέτοιο ώστε : , $n \in [1,2,3,4,5]$ και γράφουμε τον κύκλο , κέντρου .

Η τέμνει την στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\lambda =\dfrac{CO}{OT}$ , για τις πέντε αυτές τιμές του .

Φυσικά επιδιωκόμενο είναι να βρεθεί το $\lambda$ , ως συνάρτηση του .

Για κάθε $n \in \left( {0,6} \right)$ ισχύει : $\boxed{\lambda = \frac{{OC}}{{OT}} = \frac{{n + 6}}{{6 - n}}}$

Υπόδειξη

Η $\widehat {DOC} = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$ , συνεπώς το τετράπλευρο AOCD

είναι εγγράψιμο με : $\widehat {BAO} = \widehat {OCD} = \widehat {CDO} = 45^\circ$ .

Τα $\vartriangle ABS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ACD$ είναι ίσα . Θέλω να υπολογίσω το λόγο , $\dfrac{{OC}}{{OT}} = \dfrac{{AC}}{{AT}} = \dfrac{6}{y} \Rightarrow \dfrac{R}{{OT}} = \dfrac{6}{y} \Leftrightarrow \boxed{OT = \dfrac{{Ry}}{6}}\,\,\left( 1 \right)$

Από τη δύναμη του

ως προς τον κύκλο του ως άνω εγγραψίμου τετραπλεύρου AOCD

έχω :

$y\left( {y + n} \right) = OT\left( {OT + R} \right) = \dfrac{{Ry}}{6}\left( {\dfrac{{Ry}}{6} + R} \right)$ και προκύπτει : $\boxed{y = \dfrac{{6\left( {6n - {R^2}} \right)}}{{{R^2} - 36}}}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$ . Από το Π. Θ. στο $\vartriangle ACT$ έχω :

: Σχεδόν ακέραιοι.png (34.69 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές

$A{T^2} + A{C^2} = {\left( {OT + OC} \right)^2}$ που λόγω της $\left( 1 \right)$ γράφεται: ${y^2} + 36 = {\left( {\dfrac{{Ry}}{6} + R} \right)^2}$ ή $\boxed{{R^2} = \dfrac{{36\left( {{y^2} + 36} \right)}}{{{{\left( {y + 6} \right)}^2}}}}\,\,\,\left( 3 \right)$

Από τις $\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ προκύπτει : $\left( {n + 6} \right){y^2} + 12ny + 36\left( {n - 6} \right) = 0$ με ρίζες : $y = \dfrac{{6\left( {6 - n} \right)}}{{n + 6}}\,\,,\,\,\,y = - 6\,\,\,$ (απορρίπτεται)

. Τελικά κι λόγω της $\left( 1 \right)$ , $\boxed{\lambda = \dfrac{{6 + n}}{{6-n}}}$

Σχεδόν ακέραιοι

Σχεδόν ακέραιοι

Re: Σχεδόν ακέραιοι

Μέλη σε σύνδεση