Κυκλωμένο μέγιστο

KARKAR · #1

: Κυκλωμένο μέγιστο.png (23.96 KiB) Προβλήθηκε 1001 φορές

Πάνω στην εφαπτομένη στον νότιο πόλο

κύκλου

, κινείται σημείο

από το οποίο φέρουμε

την τέμνουσα PET

(

είναι το ανατολικότερο σημείο του κύκλου ) . Υπολογίστε το : $(TSE)_{max}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 20, 2025 10:12 pm
Κυκλωμένο μέγιστο.pngΠάνω στην εφαπτομένη στον νότιο πόλο κύκλου , κινείται σημείο από το οποίο φέρουμε

την τέμνουσα ( είναι το ανατολικότερο σημείο του κύκλου ) . Υπολογίστε το : $(TSE)_{max}$ .

Έστω $\angle P =\theta$ και SP=x

, οπότε $PE= \sqrt {(x-R)^2+R^2}$ (όπου

η ακτίνα του κύκλου). Έπεται ότι $\cos \theta = \dfrac {x-R}{ \sqrt {(x-R)^2+R^2}}$ και από την δύναμη του σημείου

έχουμε

$PT = \dfrac {SP^2}{PE}= \dfrac {x^2}{ \sqrt {(x-R)^2+R^2}}$ . Άρα από τον Νόμο των ημιτόνων στο SPT

έχουμε

$a= \dfrac {x}{\sin 45}\cdot \sin \theta= \dfrac {x\sqrt 2R}{ \sqrt {(x-R)^2+R^2}}$ , συνεπώς

$\displaystyle{(TSE)= \dfrac {1}{2} a \cdot SE \sin (90-\theta) = \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {x\sqrt 2R}{ \sqrt {(x-R)^2+R^2}} \cdot R\sqrt 2 \cos \theta = \dfrac {R^2x(x-R)}{(x-R)^2+R^2}}$

H τελευταία έχει παράγωγο $-\dfrac {R^3( 2R^2-4Rx+x^2)}{((x-R)^2+R^2)^2}$ . Μηδενίζεται όταν $x=(2\pm \sqrt 2)R$ . Κρατάμε το

, και με αντικατάσταση βρίσκουμε το ζητούμενο $(TSE)_{max}$ . Μετά τις πράξεις θα βρούμε $\dfrac {1}{2}(1+\sqrt 2}) R^2$ (ελπίζω να έκανα σωστά τις πράξεις. Οι ιδέες είναι σωστές, αλλά δεν αξίζει το κόπο ο ενδελεχής έλεγχος)

.

KARKAR · #3

: Κυκλωμένο μέγιστο.png (23.96 KiB) Προβλήθηκε 944 φορές

Μια άλλη λύση προκύπτει από την παρατήρηση ότι η πλευρά $SE=r\sqrt{2}$ είναι σταθερή , συνεπώς θέλουμε

μεγιστοποίηση του ύψους

, το οποίο συμβαίνει όταν αυτό είναι τμήμα της μεσοκαθέτου της

.

Η προέκταση της

μας δίνει το σημείο

.Τότε : $(TSE)_{max}=\dfrac{r^2}{2}+2(\dfrac{r^2}{2}\sin(135^0))=\dfrac{r^2}{2}(1+\sqrt{2})$ .

Κυκλωμένο μέγιστο

Κυκλωμένο μέγιστο

Re: Κυκλωμένο μέγιστο

Re: Κυκλωμένο μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση