Άθροισμα τριών τετραγώνων

KARKAR · #1

: Άθροισμα τριών τετραγώνων.png (9.08 KiB) Προβλήθηκε 287 φορές

Βρείτε εκείνο το σημείο

της ευθείας $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{4}$ , για το οποίο ελαχιστοποιείται το άθροισμα :

SO^2+SA^2+SB^2

. Πόση είναι η απόσταση του

από το βαρύκεντρο του τριγώνου BOA

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 28, 2025 7:34 am
Άθροισμα τριών τετραγώνων.pngΒρείτε εκείνο το σημείο της ευθείας $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{4}$ , για το οποίο ελαχιστοποιείται το άθροισμα :

. Πόση είναι η απόσταση του από το βαρύκεντρο του τριγώνου ;

Θέτω $\displaystyle S\left( {x,\frac{{3x + 9}}{4}} \right).$ Καμία δυσκολία. Μόνο πράξεις.

$\displaystyle S{O^2} + S{A^2} + S{B^2} = {x^2} + 2{\left( {\frac{{3x + 9}}{4}} \right)^2} + {(x - 8)^2} + {(x - 1)^2} + {\left( {\frac{{3x - 15}}{4}} \right)^2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle f(x)=S{O^2} + S{A^2} + S{B^2} = \frac{1}{{16}}(75{x^2} - 270x + 1427),$ που ως τριώνυμο έχει για $\boxed{x=\frac{9}{5}}$ ελάχιστη τιμή $\boxed{f_{min}=74}$

Είναι λοιπόν $\displaystyle S\left( {\frac{9}{5},\frac{{18}}{5}} \right)$ και αν

το βαρύκεντρο, από το θεώρημα του $\rm Leibniz,$

$\displaystyle 3S{G^2} = 74 - \frac{1}{3}(O{A^2} + O{B^2} + A{B^2}) = 74 - \frac{{186}}{3} = 12 \Leftrightarrow$ $\boxed{SG=2}$

KARKAR · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 28, 2025 8:27 am

Καμία δυσκολία. Μόνο πράξεις.

Ακριβώς ! Το δεύτερο ερώτημα , πάντως , μπορεί να μας οδηγήσει στον προβληματισμό ,

μήπως υπάρχει λύση της άσκησης μόνο με ευκλείδεια εργαλεία ...

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 28, 2025 9:17 am

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 28, 2025 8:27 am

Καμία δυσκολία. Μόνο πράξεις.
Ακριβώς ! Το δεύτερο ερώτημα , πάντως , μπορεί να μας οδηγήσει στον προβληματισμό ,

μήπως υπάρχει λύση της άσκησης μόνο με ευκλείδεια εργαλεία ...

$\displaystyle S{O^2} + S{A^2} + S{B^2} = 3S{G^2} + \frac{1}{3}(O{A^2} + O{B^2} + A{B^2})$

Η παράσταση λοιπόν ελαχιστοποιείται όταν το

γίνει ελάχιστο, όταν δηλαδή το

είναι το ίχνος της καθέτου

από το

στην δοσμένη ευθεία, όπου $\displaystyle G\left( {\frac{{0 + 1 + 8}}{3},\frac{{0 + 6 + 0}}{3}} \right) \Leftrightarrow G(3,2),$ κ.λπ.

Η εκφώνηση λοιπόν θα μπορούσε να είναι: Βρείτε εκείνο το σημείο της ευθείας $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{4}$ που απέχει λιγότερο από το βαρύκεντρο του τριγώνου

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 28, 2025 9:17 am

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 28, 2025 8:27 am

Καμία δυσκολία. Μόνο πράξεις.
Ακριβώς ! Το δεύτερο ερώτημα , πάντως , μπορεί να μας οδηγήσει στον προβληματισμό ,

μήπως υπάρχει λύση της άσκησης μόνο με ευκλείδεια εργαλεία ...

Με $S( \dfrac{9}{5}, \dfrac{18}{5} )$ ,τα μήκη SO,SA,SB,BM,SM,BG,GM

είναι όλα γνωστά.

(όπου

κ.βάρους του τριγώνου OAB

)

Το θ.Stewart στο τρίγωνο OSM

δίνει το μήκος

Άθροισμα τριών τετραγώνων

Άθροισμα τριών τετραγώνων

Re: Άθροισμα τριών τετραγώνων

Re: Άθροισμα τριών τετραγώνων

Re: Άθροισμα τριών τετραγώνων

Re: Άθροισμα τριών τετραγώνων

Μέλη σε σύνδεση