Το αλεπουδάκι

KARKAR · #1

: Το αλεπουδάκι.png (9.02 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές

Βρείτε σημείο

του κύκλου με εξίσωση : x^2+(y-6)^2=4

,

για το οποίο ελαχιστοποιείται το άθροισμα : SO^2+SA^2

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 02, 2026 5:54 pm
Βρείτε σημείο του κύκλου με εξίσωση : ,

για το οποίο ελαχιστοποιείται το άθροισμα : .

.

: Αλεπ.png (29.41 KiB) Προβλήθηκε 152 φορές

.
Aν $M\left (\dfrac {9}{2} ,0 \right )$ το μέσον της

, έχουμε από το θεώρημα των διαμέσων ότι

$SO^2+SA^2 = 2SM^2+ \dfrac {OA^2}{2} =2 SM^2+ \dfrac {81}{2}$

Άρα θα έχουμε ελάχιστο όταν το

είναι ελάχιστο (με

σταθερό και

στον κύκλο), που συμβαίνει όταν τα K,S,M

είναι συνευθειακά (το

στο σχήμα). Δηλαδή όταν το

ικανοποεί την εξίσωση του κύκλου και της ευθείας

, που είναι $y= -\dfrac {4}{3}\left (x- \dfrac {9}{2} \right )$ .

Λύνοντας θα βρούμε $T \left (\dfrac {6}{5} , \dfrac {22}{5} \right )$

Είναι τότε η τιμή του ελαχίστου $\left (\dfrac {6}{5} \right )^2 + \left (\dfrac {22}{5} \right )^2+ \left (\dfrac {6}{5} -9 \right )^2+ \left (\dfrac {22}{5} \right )^2 = \boxed {101}$

Ας προσθέσω ότι το αντιδιαμετρικό του

, που είναι το $T ' \left (-\dfrac {6}{5} , \dfrac {38}{5} \right )$ , δίνει το μέγιστο του εν λόγω αθροίσματος.

Το αλεπουδάκι

Το αλεπουδάκι

Re: Το αλεπουδάκι

Μέλη σε σύνδεση