Κι άλλο σταθερό σημείο

[KARKAR]

Κι άλλο σταθερό.png (15.7 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές

Από το σημείο διέρχεται μεταβλητή τέμνουσα του μπλε ημικυκλίου . Γράφουμε τον κύκλο , ο οποίος

διέρχεται από τα και το . Δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται και από άλλο σταθερό σημείο . Ποιο ;

[Mihalis_Lambrou]

Κι άλλο σταθερό.pngΑπό το σημείο διέρχεται μεταβλητή τέμνουσα του μπλε ημικυκλίου . Γράφουμε τον κύκλο , ο οποίος

διέρχεται από τα και το . Δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται και από άλλο σταθερό σημείο . Ποιο ;

Και άλλο.png (17.9 KiB) Προβλήθηκε 152 φορές

.
Φέρνουμε την . και έστω ότι τέμνει τον (μεταβλητό) κύκλο στo . Θα δείξουμε ότι το είναι το ζητούμενο σταθερό σημείο. Πράγματι, από δύναμη σημείου δύο φορές έχουμε

σταθερό. Άρα το μήκος επί της σταθερής είναι σταθερό, που αποδεικνύει τον παραπάνω ισχυρισμό.

Αν θέλουμε και τις συντεταγμένες του , έχουμε (άμεσο από τις συντεταγμένες των .

Άρα , οπότε . Εύκολα τώρα είτε αξιοποιώντας το γεγονός ότι είτε από το γεγονός ότι η ευθεία είναι η .

[KDORTSI]

Από το σημείο διέρχεται μεταβλητή τέμνουσα του μπλε ημικυκλίου . Γράφουμε τον κύκλο , ο οποίος

διέρχεται από τα και το . Δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται και από άλλο σταθερό σημείο . Ποιο ;

Μιχάλη και Θανάση Καλημέρα...

Αναρτώ δυο σχήματα για το θέμα αυτό όπου τα πράγματα είναι έτσι όπως ο Μιχάλης έδειξε,

μόνο που όταν το σημείο ταυτιστεί με το σημείο οι κύκλοι που διέρχονται από τα σημεία

είναι άπειροι και γενικώς δεν διέρχοται από το δεύτερο σημείο .

Ακολουθούν τα σχήματα:

1ο)

Και δεύτερο σταθερό σημείο 1.png (45.57 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές

2ο)

Και δεύτερο σταθερό σημείο 2png.png (42.88 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές

Στο δεύτερο σχήμα φαίνεται η σκιασμένη περιοχή, όπως και στο πρώτο σχήμα, όπου παριστά

τον κύκλο στην περίπτωση αυτή ο οποίος έχει φθάσει στην οριακή του θέση που είναι ευθεία.

Αναρτώ κι ένα δυναμικό σχήμα στη διεύθυνση: https://www.geogebra.org/m/fvdtpfa9

Θα ακολουθήσει και άλλη ανάρτηση...

Κώστας Δόρτσιος