Εφαπτόμενο τμήμα με ακέραιο μήκος

[Doloros]

Εφαπτόμενο τμήμα με ακέραιο μήκος.png (9.48 KiB) Προβλήθηκε 1034 φορές

Δίδονται οι κύκλοι με διάκεντρο .

Από τυχαίο σημείο του μεγάλου κύκλου φέρνω εφαπτόμενο τμήμα στο μικρό.

Αν η απόσταση του από την κοινή χορδή των δύο κύκλων είναι ακέραιος αριθμός ,

να δείξετε ότι από όλα τα εφαπτόμενα αυτά τμήματα μόνο ένα ζεύγος, έχει ακέραιο μήκος

και να το κατασκευάσετε γεωμετρικά .

Στο σχήμα δεν είναι σχεδιασμένη ή λύση .

(Συγνώμη για την αβλεψία μου να μη δώσω βασική προϋπόθεση για την άσκηση.)

Νίκος

[S.E.Louridas]

Επειδή ο Νίκος είναι αυτή την εποχή σε υπέρ φόρμα, αφού έτσι ή αλλιώς σε φόρμα είναι πάντα και μας προπονεί.

Γνωρίζουμε ότι η διαφορά των δυνάμεων σημείου ως προς δύο κύκλους ισούται με το διπλάσιο της διακέντρου τους επί την απόσταση του σημείου από τον ριζικό τους άξονα. Άρα έχουμε Είναι καθαρό ότι Ο ακέραιος διαιρείται από τους αριθμούς άρα και από τον αφού Τελικά .

[Mihalis_Lambrou]

Επειδή ο Νίκος είναι αυτή την εποχή σε υπέρ φόρμα, αφού έτσι ή αλλιώς σε φόρμα είναι πάντα και μας προπονεί.

Αυτό να λέγεται. Αλλά και όλοι οι Γεωμέτρες του φόρουμ, αυτή την εποχή ... τρελάθηκαν

[KARKAR]

Dolor.png (21.66 KiB) Προβλήθηκε 1001 φορές

Επειδή : , η ευθεία , έχει εξίσωση .

Η τετμημένη του θα είναι : . Από το Π.Θ. στο ,

έχουμε : . Εύκολα , βρίσκουμε ότι το μόνο

που ταιριάζει , είναι το και τότε .

[george visvikis]

Εφαπτόμενο τμήμα με ακέραιο μήκος.png

Δίδονται οι κύκλοι με διάκεντρο .

Από τυχαίο σημείο του μεγάλου κύκλου φέρνω εφαπτόμενο τμήμα στο μικρό.

Αν η απόσταση του από την κοινή χορδή των δύο κύκλων είναι ακέραιος αριθμός ,

να δείξετε ότι από όλα τα εφαπτόμενα αυτά τμήματα μόνο ένα ζεύγος, έχει ακέραιο μήκος

και να το κατασκευάσετε γεωμετρικά .

Στο σχήμα δεν είναι σχεδιασμένη ή λύση .

(Συγνώμη για την αβλεψία μου να μη δώσω βασική προϋπόθεση για την άσκηση.)

Νίκος

Καλησπέρα σε όλους!

Για την κατασκευή.

Ακέραιο μήκος..png (17.08 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

Θα αποδείξω ότι η τέμνει τον κύκλο στο ζητούμενο σημείο . Έχει ήδη αποδειχθεί πιο πάνω ότι

Από Π. Θ στο βρίσκω ότι και από θεώρημα στο με τέμνουσα , παίρνω

Επίσης από θεώρημα στο με τέμνουσα , βγαίνει

, άρα τα σημεία είναι συνευθειακά (αφού το είναι διαφορετικό του

για το οποίο ισχύει το ίδιο γινόμενο) και έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη.

[S.E.Louridas]

Δίδονται οι κύκλοι με διάκεντρο .
Από τυχαίο σημείο του μεγάλου κύκλου φέρνω εφαπτόμενο τμήμα στο μικρό. Αν η απόσταση του από την κοινή χορδή των δύο κύκλων είναι ακέραιος αριθμός , να δείξετε ότι από όλα τα εφαπτόμενα αυτά τμήματα μόνο ένα ζεύγος, έχει ακέραιο μήκος και να το κατασκευάσετε γεωμετρικά .

Γνωρίζουμε ότι η διαφορά των δυνάμεων σημείου ως προς δύο κύκλους ισούται με το διπλάσιο της διακέντρου τους επί την απόσταση του σημείου από τον ριζικό τους άξονα που εδώ είναι η κοινή χορδή των κύκλων. Επομένως (1ο σχήμα) έχουμε Είναι καθαρό ότι Ο ακέραιος διαιρείται από τους αριθμούς άρα και από τον αφού Τελικά .

Απλά επειδή δεν πρόσεξα ότι ζητούσε και την κατασκευή του , επανέρχομαι και την παρουσιάζω χωρίς λόγια (2ο σχήμα).