Μέσα σε τρίγωνο, ισοσκελή

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6960
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Μέσα σε τρίγωνο, ισοσκελή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Αύγ 16, 2017 9:56 pm

Μια γωνία τριγώνου ακόμη.png
Μια γωνία τριγώνου ακόμη.png (17.4 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές
Στο σχήμα Τα τρίγωνα DAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EAC είναι ισοσκελή με κορυφές τα D,\,\,E.

Να υπολογίσετε τη γωνία \widehat {CDE} = \theta . ( Κάθε λύση αποδεκτή)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3980
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Μέσα σε τρίγωνο, ισοσκελή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Αύγ 22, 2017 3:41 pm

Doloros έγραψε:Στο σχήμα Τα τρίγωνα DAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EAC είναι ισοσκελή με κορυφές τα D,\,\,E. Να υπολογίσετε τη γωνία \widehat {CDE} = \theta . ( Κάθε λύση αποδεκτή)
Μέσα σε τρίγωνο ισοσκελή.png
Μέσα σε τρίγωνο ισοσκελή.png (42.91 KiB) Προβλήθηκε 586 φορές
\bullet Έστω F το σημείο τομής του περίκυκλου του τριγώνου \vartriangle ADB με την BC .

Τότε με \angle FAD\mathop  = \limits^{A,B,F,D\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle FBD = {18^0}\mathop  \Rightarrow \limits^{\angle BAD = {{36}^0}} \angle BAF = {18^0} \Rightarrow \boxed{BF = FD}:\left( 1 \right).

Αν Q είναι το μέσο του τόξου AD (που αντιστοιχεί σε εγγεγραμμένη γωνία {{36}^{0}} ) τότε προφανώς BF=FD=DQ=QA:\left( 2 \right) (χορδές ίδιου κύκλου αντιστοιχούσες σε {{18}^{0}} εγγεγραμμένες γωνίες.

Είναι \vartriangle AFC\mathop  = \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\,\tau o\upsilon \,\,\vartriangle AFB} {54^0} + {18^0} = {72^0} = \dfrac{{{{144}^0}}}{2}\mathop  = \limits^{\vartriangle AEC} \dfrac{{\angle AEC}}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{EA = EC} E το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου

του τριγώνου \vartriangle AFC , οπότε \angle EFD = \angle DFC - \angle EFC = {36^0} - {24^0} = {12^0} και προφανώς \angle QAE = \angle DAE - \angle DAQ = {30^0} - {18^0} = {12^0}.

\bullet Σύμφωνα με το παρακάτω
Λήμμα το τρίγωνο \vartriangle EQD είναι ισόπλευρο οπότε DE=DQ=DF\Rightarrow \vartriangle DFE ισοσκελές, άρα

\angle XDE\mathop  = \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta } 2\left( {\angle DFE} \right) = {24^0} = \angle ECF \Rightarrow DFCE εγγράψιμο σε κύκλο οπότε \angle EDC = \angle EFC\mathop  = \limits^{EF = EC} \angle ECF = {24^0} και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί.


Λήμμα Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο AQDF\left( AF\parallel QD \right) με \angle QAF=\angle DFA={{36}^{0}} και AQ=QD=DF . Προς το εξωτερικό μέρος του κατασκευάζουμε γωνίες \angle QAE=\angle DFE={{12}^{0}} με E ανήκει προφανώς στον άξονα συμμετρίας του σχήματος που είναι η μεσοκάθετη των βάσεων του ισοσκελούς τραπεζίου.
Να δειχθεί ότι \vartriangle EQD είναι ισόπλευρο.



Απόδειξη

Προς αποφυγήν της τριγωνομετρίας ας δούμε την απόδειξη του Λήμματος με τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής
Μεσα σε τρίγωνο ισοσκελή (Λήμμα).png
Μεσα σε τρίγωνο ισοσκελή (Λήμμα).png (26.14 KiB) Προβλήθηκε 586 φορές
Έστω ότι \vartriangle EQD δεν είναι ισόπλευρο οπότε θα υπάρχει σημείο \left( \varepsilon  \right)\backepsilon  {E}'\ne E ώστε: \vartriangle {E}'QD να είναι ισόπλευρο. Ετσι θα ισχύει: {E}'Q={E}'D=QD=AQ=DF και συνεπώς τα τρίγωνα \vartriangle QA{E}',\vartriangle DF{E}' θα είναι ισοσκελή και ίσα.

Αρα \angle E'QA + \angle DQE' + \angle AQD = {360^0} \mathop  \Rightarrow \limits^{\angle DQE' = {{60}^0},\angle AQD = {{144}^0}} \angle E'QA = {156^0} \mathop  \Rightarrow \limits^{QE' = QA} \angle E'AQ = {12^0}.

και επειδή προφανώς τα E,{E}' είναι προς το ίδιο μέρος της AQ\Rightarrow {E}'\equiv E πράγμα άτοπο από την υπόθεση. Άρα το τρίγωνο \vartriangle EQD είναι ισόπλευρο και το λήμμα έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης