ακέραια εκθετική

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1062
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

ακέραια εκθετική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Αύγ 27, 2017 11:06 am

Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

\left (  \dfrac{45}{8}\right )^{x^3-4x^2+2y+6} = \left (  \dfrac{162}{5}\right )^{y^3-4y^2+2x-1}.



Λέξεις Κλειδιά:
nikkru
Δημοσιεύσεις: 338
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: ακέραια εκθετική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Κυρ Αύγ 27, 2017 10:14 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

\left (  \dfrac{45}{8}\right )^{x^3-4x^2+2y+6=0} = \left (  \dfrac{162}{5}\right )^{y^3-4y^2+2x-1}.
Ας ονομάσουμε A=x^3-4x^2+2y+6 και B=y^3-4y^2+2x-1. Οι x,y ακέραιοι, άρα και A,B ακέραιοι.

Αφού 45=3^2 \cdot 5,8=2^3,162=2 \cdot 3^4 η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την: 2^{3A+B} \cdot 3^{4B-2A}  \cdot 5^{-A-B}=1

ή ισοδύναμα: \left\{\begin{matrix} 3A+B=0\\ 4B-2A=0\\ -A-B=0 \end{matrix}\right. που έχει μοναδική λύση την A=B=0.

Επομένως έχουμε να λύσουμε στους ακέραιους το σύστημα: \left\{\begin{matrix} x^3-4x^2+2y+6=0\\ y^3-4y^2+2x-1=0 \end{matrix}\right.\,\,\,(1).

Αφαιρούμε από την δεύτερη εξίσωση την πρώτη και καταλήγουμε στην εξίσωση (y-x)(y^2+xy+x^2-4x-4y-2)=7 . Έτσι:

y-x=1 \,\,\kappa \alpha \iota \,\, y^2+xy+x^2-4x-4y-2=7\,\,(2)\, ή \,y-x=-1 \,\,\kappa \alpha \iota \,\, y^2+xy+x^2-4x-4y-2=-7\,\,(3)

ή y-x=7 \,\,\kappa \alpha \iota \,\, y^2+xy+x^2-4x-4y-2=1\,\,(4)\, ή \,y-x=-7 \,\,\kappa \alpha \iota \,\, y^2+xy+x^2-4x-4y-2=-1\,\,(5).

Από τις (ακέραιες) λύσεις που προκύπτουν, μόνο η x=2 \,\,\kappa \alpha \iota \,\, y=1 να ικανοποιούν το (1) .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες