ακέραια εκθετική

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

$\left ( \dfrac{45}{8}\right )^{x^3-4x^2+2y+6} = \left ( \dfrac{162}{5}\right )^{y^3-4y^2+2x-1}$ .

nikkru · #2

Al.Koutsouridis έγραψε:Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

$\left ( \dfrac{45}{8}\right )^{x^3-4x^2+2y+6=0} = \left ( \dfrac{162}{5}\right )^{y^3-4y^2+2x-1}$ .

Ας ονομάσουμε A=x^3-4x^2+2y+6

και

. Οι

ακέραιοι, άρα και A,B

ακέραιοι.

Αφού $45=3^2 \cdot 5,8=2^3,162=2 \cdot 3^4$ η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την: $2^{3A+B} \cdot 3^{4B-2A} \cdot 5^{-A-B}=1$

ή ισοδύναμα: $\left\{\begin{matrix} 3A+B=0\\ 4B-2A=0\\ -A-B=0 \end{matrix}\right.$ που έχει μοναδική λύση την A=B=0

.

Επομένως έχουμε να λύσουμε στους ακέραιους το σύστημα: $\left\{\begin{matrix} x^3-4x^2+2y+6=0\\ y^3-4y^2+2x-1=0 \end{matrix}\right.\,\,\,(1)$ .

Αφαιρούμε από την δεύτερη εξίσωση την πρώτη και καταλήγουμε στην εξίσωση (y-x)(y^2+xy+x^2-4x-4y-2)=7

. Έτσι:

$y-x=1 \,\,\kappa \alpha \iota \,\, y^2+xy+x^2-4x-4y-2=7\,\,(2)\,$ ή $\,y-x=-1 \,\,\kappa \alpha \iota \,\, y^2+xy+x^2-4x-4y-2=-7\,\,(3)$

ή $y-x=7 \,\,\kappa \alpha \iota \,\, y^2+xy+x^2-4x-4y-2=1\,\,(4)\,$ ή $\,y-x=-7 \,\,\kappa \alpha \iota \,\, y^2+xy+x^2-4x-4y-2=-1\,\,(5)$ .

Από τις (ακέραιες) λύσεις που προκύπτουν, μόνο η $x=2 \,\,\kappa \alpha \iota \,\, y=1$ να ικανοποιούν το (1)

.

ακέραια εκθετική

ακέραια εκθετική

Re: ακέραια εκθετική

Μέλη σε σύνδεση