Γεωμετρική πρόοδος σε τετράγωνο

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6847
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Γεωμετρική πρόοδος σε τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 20, 2018 5:49 pm

Γεωμετρική πρόοδος σε τετράγωνο.png
Γεωμετρική πρόοδος σε τετράγωνο.png (6.57 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές
Α) Σημείο P βρίσκεται στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD. Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων PA, PB, PC

αν είναι γνωστό ότι με τη σειρά που δίνονται αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου με λόγο \lambda=\dfrac{3}{2}.

Β) Προαιρετικό: Εξετάστε αν η παραπάνω συνθήκη ορίζει μονοσήμαντα το τετράγωνο.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5834
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γεωμετρική πρόοδος σε τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μαρ 20, 2018 8:13 pm

Θεωρώ σύστημα συντεταγμένων με αρχή το A , άξονα τετμημένων την AB και μοναδιαίο διάνυσμα σ αυτόν το \overrightarrow i  = \overrightarrow {AB} .
Γεωμετρική πρόοδος σε τετράγωνο_ok.png
Γεωμετρική πρόοδος σε τετράγωνο_ok.png (25.99 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές
Οι Απολλώνιου ίσοι κύκλοι έχουν κέντρα K( - \dfrac{4}{5},0)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L(1, - \dfrac{4}{5}) ακτίνα δε

R = \dfrac{6}{5}. Το σημείο P από την απλή λύση του συστήματος των εξισώσεων τους

Είναι P(\dfrac{{2\sqrt {4559} }}{{485}} + \dfrac{1}{{10}},\dfrac{{9\sqrt {4559} }}{{970}} - \dfrac{2}{5})

και με μήκος πλευράς τετραγώνου a, \boxed{PA = \sqrt {\frac{{16}}{{25}} - \frac{{16\sqrt {4559} }}{{2425}}} a}.

Επειδή οι κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία και το άλλο P' είναι εκτός τετραγώνου το σημείο P δεν ορίζει μονοσήμαντα το τετράγωνο .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6847
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γεωμετρική πρόοδος σε τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 20, 2018 10:41 pm

Επαναδιατυπώνω το Β) ερώτημα γιατί είναι ασαφές. "Αν τα μήκη των τμημάτων PA, PB, PC είναι γνωστά, τότε το τετράγωνο έχει σταθερή πλευρά;"


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5834
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γεωμετρική πρόοδος σε τετράγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μαρ 21, 2018 9:52 am

george visvikis έγραψε:
Τρί Μαρ 20, 2018 10:41 pm
Επαναδιατυπώνω το Β) ερώτημα γιατί είναι ασαφές. "Αν τα μήκη των τμημάτων PA, PB, PC είναι γνωστά, τότε το τετράγωνο έχει σταθερή πλευρά;"
Γεωμετρική πρόοδος σε τετράγωνο_2.png
Γεωμετρική πρόοδος σε τετράγωνο_2.png (19.2 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές

Θέτω \cos \omega  = t\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\cos \theta  = m επειδή \omega  + \theta  = 90^\circ θα είναι {t^2} + {m^2} = 1.

Με Θ. συνημίτονου στα τρίγωνα BPC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BPA θα έχω ταυτόχρονα:


\left\{ \begin{gathered} 
  {t^2} + {m^2} = 1 \hfill \\ 
  {t^2} = \frac{{36{k^2} - 81{k^2} + {a^2}}}{{12ak}} \hfill \\ 
  {m^2} = \frac{{36{k^2} - 16{k^2} + {a^2}}}{{12ak}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  a = k\sqrt {\frac{{97 + \sqrt {4559} }}{2}}  \hfill \\ 
  a = k\sqrt {\frac{{97 - \sqrt {4559} }}{2}}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

δηλαδή το τετράγωνο δεν ορίζεται μονοσήμαντα με δεδομένα τα PA,PB,PC.


Στη δεύτερη τιμή της πλευράς του τετραγώνου το σημείο P είναι έξω από το τετράγωνο


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης