Ανακύκλωση

KARKAR · #1

: Ανακύκλωση.png (15.94 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές

Οι κύκλοι (O,2)

και

τέμνονται (και) στο

και τέμνουν τη διάκεντρο στα σημεία

N,M

, ώστε :

. Η εφαπτομένη του (K)

στο

, τέμνει τον (O)

στο

.

α) Δείξτε ότι η εφαπτομένη του (O)

στο

εφάπτεται και στον (K)

( έστω στο

) .

β) Δείξτε ότι τα σημεία A,M,S

είναι συνευθειακά .

γ) Δείξτε ότι $AN\perp PS$ .

#2

Ας απομονωθούμε αρχικά στο ημιεπίπεδο που ορίζουν η ευθεία $OK\,$ με το

Έστω $\overline {ZOM}$ η διάμετρος του μικρού ημικυκλίου και

το άλλο σημείο τομής της

με το μεγάλο ημικύκλιο.

Επειδή : $\dfrac{{MN}}{{MK}} = \dfrac{1}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{{ZN}}{{ZK}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \,\,\boxed{\dfrac{{MN}}{{MK}} = \dfrac{{ZN}}{{ZK}}}\,\,(1)$ άρα η δέσμη ,

$(AZ,AM\backslash AN,AK)$ είναι αρμονική και αφού $AM \bot AZ$ στο τρίγωνο

ANK

οι

είναι οι διχοτόμοι του , εσωτερική και εξωτερική αντίστοιχα.

: Ανακύκλωση_new_1.png (42.68 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές

Άμεσες συνέπειες: $\boxed{\widehat \omega + \widehat \phi = \widehat \theta \,\,}\,(2)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{{AN}}{{AK}} = \dfrac{{MN}}{{MK}} \Rightarrow \dfrac{{AN}}{3} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \boxed{AN = \dfrac{3}{2}}\,\,(3)$

Επειδή δε $KM = 3\,\,$ και το

μέσο του

θα είναι το

είναι μέσο του

Και φυσικά AN//HK

. Δηλαδή η

είναι μεσοκάθετος στο

.

Φέρνω τώρα την εφαπτομένη του μεγάλου ημικυκλίου στο

που τέμνει την

Στο σημείο

και την προβολή

του

στην

.

Είναι γνωστό ότι η

διχοτομεί την γωνία $\widehat {EAL}$ .

Από το ισοσκελές τρίγωνο OAM

έχω :

$\widehat {OAM} = \widehat {OMA} \Rightarrow \widehat \xi + 2\widehat \omega + \widehat \phi = 2\widehat \omega + \widehat \theta \Rightarrow \widehat \xi + \widehat \phi = \widehat \theta$ και λόγω της (2)

έχω :

$\boxed{\widehat \xi = \widehat \omega }\,\,(4)$
Δηλαδή στο τρίγωνο OAN

οι

εσωτερική και εξωτερική διχοτόμοι αντίστοιχα.

: Ανακύκλωση_new_2.png (57.36 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές

Προεκτείνω τώρα τη μ

και τέμνει το μικρό κύκλο στο

. Φέρνω την εφαπτομένη του μικρού κύκλου στο

και η

την κόβει στο

.

Ακόμα ας είναι

το σημείο τομής του μικρού κύκλου με την ευθεία

.

Επειδή η γωνία $\widehat z = \widehat {OPT} - \widehat {OPE} - \widehat {TPQ} = 90^\circ - 2\widehat \omega = \widehat {AEN} \Rightarrow PQ//ON$ Ενώ

προφανώς OP//AT

. Δηλαδή το τετράπλευρο OPQN

είναι παραλληλόγραμμο .

Άρα : $AT \bot PT$ και

$P{T^2} = TQ \cdot TA \Rightarrow P{Q^2} - T{Q^2} = TQ \cdot TA \Rightarrow P{Q^2} - T{Q^2} = TQ(TQ + QN + NA)$ .

Οπότε $\boxed{TQ = \dfrac{1}{4}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NT = \dfrac{9}{4}}$

Αν τώρα προεκτείνω την

προς το

και κόψει την

στο

θα είναι $KS \bot PS$ .

Επειδή $\dfrac{{NT - OP}}{{KS - NT}} = \dfrac{{ON}}{{NK}} \Rightarrow \dfrac{{\dfrac{9}{4} - 2}}{{x - \dfrac{9}{4}}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \boxed{x = 3}$ άρα η ευθεία

εφάπτεται του μεγάλου κύκλου .

Τέλος επειδή ZS// = 2AK = 6

το τρίγωνο SZH

είναι ισοσκελές οπότε και η

είναι μεσοκάθετος στο

, άρα τα σημεία S,M,A

ορίζουν μια ευθεία.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 29, 2018 1:08 pm
Ανακύκλωση.pngΟι κύκλοι και τέμνονται (και) στο και τέμνουν τη διάκεντρο στα σημεία

, ώστε : . Η εφαπτομένη του στο , τέμνει τον στο .

α) Δείξτε ότι η εφαπτομένη του στο εφάπτεται και στον ( έστω στο ) .

β) Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

γ) Δείξτε ότι $AN\perp PS$ .

Έστω ότι η

τέμνει τον κύκλο (K)

στο

και η

το

στο

Θα δείξω ότι το

είναι το κοινό

εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα των δύο κύκλων.

: Ανακύκλωση.png (21.56 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές

$\displaystyle O{A^2} = 4 = 1 \cdot 4 = ON \cdot OK \Rightarrow A\widehat KO = O\widehat AN \Leftrightarrow 2P\widehat AN = O\widehat AN,$ απ' όπου προκύπτει ότι OP||AN.

Με θεώρημα διαμέσων διαδοχικά στα τρίγωνα AOK, OAM

παίρνω $\displaystyle AM = \frac{{\sqrt {10} }}{2}$ και $\displaystyle AN = \frac{3}{2},$ άρα θα είναι

$\displaystyle \frac{{NM}}{{MK}} = \frac{1}{2} = \frac{{AN}}{{AK}},$ η

είναι διχοτόμος της $N\widehat AK$ και AN||KS.

Είναι λοιπόν, $\boxed{OP||AN||KS}$

Αν δείξω ότι $\displaystyle AT \bot PS$ τότε όλα τα ζητούμενα θα έχουν αποδειχθεί. Υπολογίζω πρώτα το

από το τραπέζιο OPSK.

$\displaystyle NT = \frac{{ON \cdot KS + NK \cdot OP}}{{ON + NK}} = \frac{9}{4}$ και με νόμο συνημιτόνων στο $AKS (MS=2AM=\sqrt{10}),$ βρίσκω

$\displaystyle \cos \varphi = \frac{{\sqrt 5 }}{4}.$ Τέλος με νόμο συνημιτόνων στο ATS

παίρνω $\displaystyle TS = \frac{{\sqrt {135} }}{4},$ και το ζητούμενο έπεται με το αντίστροφο του Π. Θ.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 29, 2018 1:08 pm
Ανακύκλωση.pngΟι κύκλοι και τέμνονται (και) στο και τέμνουν τη διάκεντρο στα σημεία

, ώστε : . Η εφαπτομένη του στο , τέμνει τον στο .

α) Δείξτε ότι η εφαπτομένη του στο εφάπτεται και στον ( έστω στο ) .

β) Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

γ) Δείξτε ότι $AN\perp PS$ .

Έστω $\displaystyle KS$ κάθετη στην εφαπτόμενη στο σημείο $\displaystyle C$

Προφανώς $\displaystyle F,B,H$ συνευθειακά και $\displaystyle FH = //2OK = 8$ .Επειδή $\displaystyle ON = 1 \Rightarrow FQ = 2 \Rightarrow QH = 6 = AH$

Έτσι η $\displaystyle HN \bot AQ$ είναι μεσοκάθετος της $\displaystyle AQ \Rightarrow \angle {H_1} = \angle {H_2}$ κι επειδή $\displaystyle {H_1} = \angle {A_1}$ (υπό χορδής-εφαπτόμενης) τελικά έχουμε

$\displaystyle \angle {H_1} = \angle {H_2} = \angle {A_1} = \angle {A_2} = \angle {C_1} = \angle {N_1}$ $\displaystyle \Rightarrow OC//AQ \Rightarrow AQ \bot CS$ .Άρα $\displaystyle NH \bot KS$

Έστω τώρα $\displaystyle OD \bot KS$ .Τότε $\displaystyle OD//NT \Rightarrow \angle {N_1} = \angle {O_1}$ κι έτσι τα ορθογώνια τρίγωνα

$\displaystyle OKD,AFC$ θα είναι ίσα αφού και $\displaystyle OK =AF = 4$

Άρα $\displaystyle AC = OD = CS$ κι επειδή $\displaystyle CA$ εφαπτόμενη του $\displaystyle \left( {K,3} \right)$ θα είναι και η $\displaystyle CS$

Αν $\displaystyle QM \cap AH = Z$ ,επειδή $\displaystyle OM = FQ = 2$ και $\displaystyle OM//FQ \Rightarrow QMZ//AF \Rightarrow \frac{{HQ}}{{HF}} = \frac{{QZ}}{{AF}} \Rightarrow \frac{6}{8} = \frac{{QZ}}{4} \Rightarrow QZ = 3 = KN$

Αλλά $\displaystyle AN = NQ$ και $\displaystyle KM = 2 = 2MN$ ‘άρα $\displaystyle M$ κ.βάρους του $\displaystyle \vartriangle QAK$ και οι διάμεσοι $\displaystyle QZ,KN$ είναι ίσες

άρα $\displaystyle AQ = AK = KS = 3$ κι επειδή $\displaystyle NT \bot AQ,KS \Rightarrow AQ = //KS \Rightarrow AQSK$ παραλ/μμο

Όμως και $\displaystyle OF = MQ = MK = 2$ .Επομένως $\displaystyle AM$ μεσοκάθετος της $\displaystyle QK$ και $\displaystyle A,M,S$ συνευθειακά

: ανακύκλωση.png (79.12 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

Ανακύκλωση

Ανακύκλωση

Re: Ανακύκλωση

Re: Ανακύκλωση

Re: Ανακύκλωση

Μέλη σε σύνδεση