Ανακύκλωση
Ανακύκλωση
, ώστε : . Η εφαπτομένη του στο , τέμνει τον στο .
α) Δείξτε ότι η εφαπτομένη του στο εφάπτεται και στον ( έστω στο ) .
β) Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .
γ) Δείξτε ότι .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ανακύκλωση
Ας απομονωθούμε αρχικά στο ημιεπίπεδο που ορίζουν η ευθεία με το
Έστω η διάμετρος του μικρού ημικυκλίου και το άλλο σημείο τομής της
με το μεγάλο ημικύκλιο.
Επειδή : άρα η δέσμη ,
είναι αρμονική και αφού στο τρίγωνο
οι είναι οι διχοτόμοι του , εσωτερική και εξωτερική αντίστοιχα.
Άμεσες συνέπειες:
Επειδή δε και το μέσο του θα είναι το είναι μέσο του
Και φυσικά . Δηλαδή η είναι μεσοκάθετος στο .
Φέρνω τώρα την εφαπτομένη του μεγάλου ημικυκλίου στο που τέμνει την
Στο σημείο και την προβολή του στην .
Είναι γνωστό ότι η διχοτομεί την γωνία .
Από το ισοσκελές τρίγωνο έχω :
και λόγω της έχω :
Δηλαδή στο τρίγωνο οι εσωτερική και εξωτερική διχοτόμοι αντίστοιχα.
Προεκτείνω τώρα τη μ και τέμνει το μικρό κύκλο στο . Φέρνω την εφαπτομένη του μικρού κύκλου στο και η την κόβει στο .
Ακόμα ας είναι το σημείο τομής του μικρού κύκλου με την ευθεία .
Επειδή η γωνία Ενώ
προφανώς . Δηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο .
Άρα : και
.
Οπότε
Αν τώρα προεκτείνω την προς το και κόψει την στο θα είναι .
Επειδή άρα η ευθεία εφάπτεται του μεγάλου κύκλου .
Τέλος επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές οπότε και η
είναι μεσοκάθετος στο , άρα τα σημεία ορίζουν μια ευθεία.
Έστω η διάμετρος του μικρού ημικυκλίου και το άλλο σημείο τομής της
με το μεγάλο ημικύκλιο.
Επειδή : άρα η δέσμη ,
είναι αρμονική και αφού στο τρίγωνο
οι είναι οι διχοτόμοι του , εσωτερική και εξωτερική αντίστοιχα.
Άμεσες συνέπειες:
Επειδή δε και το μέσο του θα είναι το είναι μέσο του
Και φυσικά . Δηλαδή η είναι μεσοκάθετος στο .
Φέρνω τώρα την εφαπτομένη του μεγάλου ημικυκλίου στο που τέμνει την
Στο σημείο και την προβολή του στην .
Είναι γνωστό ότι η διχοτομεί την γωνία .
Από το ισοσκελές τρίγωνο έχω :
και λόγω της έχω :
Δηλαδή στο τρίγωνο οι εσωτερική και εξωτερική διχοτόμοι αντίστοιχα.
Προεκτείνω τώρα τη μ και τέμνει το μικρό κύκλο στο . Φέρνω την εφαπτομένη του μικρού κύκλου στο και η την κόβει στο .
Ακόμα ας είναι το σημείο τομής του μικρού κύκλου με την ευθεία .
Επειδή η γωνία Ενώ
προφανώς . Δηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο .
Άρα : και
.
Οπότε
Αν τώρα προεκτείνω την προς το και κόψει την στο θα είναι .
Επειδή άρα η ευθεία εφάπτεται του μεγάλου κύκλου .
Τέλος επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές οπότε και η
είναι μεσοκάθετος στο , άρα τα σημεία ορίζουν μια ευθεία.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ανακύκλωση
Έστω ότι η τέμνει τον κύκλο στο και η το στο Θα δείξω ότι το είναι το κοινόKARKAR έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 29, 2018 1:08 pmΑνακύκλωση.pngΟι κύκλοι και τέμνονται (και) στο και τέμνουν τη διάκεντρο στα σημεία
, ώστε : . Η εφαπτομένη του στο , τέμνει τον στο .
α) Δείξτε ότι η εφαπτομένη του στο εφάπτεται και στον ( έστω στο ) .
β) Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .
γ) Δείξτε ότι .
εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα των δύο κύκλων. απ' όπου προκύπτει ότι
Με θεώρημα διαμέσων διαδοχικά στα τρίγωνα παίρνω και άρα θα είναι
η είναι διχοτόμος της και Είναι λοιπόν,
Αν δείξω ότι τότε όλα τα ζητούμενα θα έχουν αποδειχθεί. Υπολογίζω πρώτα το από το τραπέζιο
και με νόμο συνημιτόνων στο βρίσκω
Τέλος με νόμο συνημιτόνων στο παίρνω και το ζητούμενο έπεται με το αντίστροφο του Π. Θ.
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Ανακύκλωση
KARKAR έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 29, 2018 1:08 pmΑνακύκλωση.pngΟι κύκλοι και τέμνονται (και) στο και τέμνουν τη διάκεντρο στα σημεία
, ώστε : . Η εφαπτομένη του στο , τέμνει τον στο .
α) Δείξτε ότι η εφαπτομένη του στο εφάπτεται και στον ( έστω στο ) .
β) Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .
γ) Δείξτε ότι .
Έστω κάθετη στην εφαπτόμενη στο σημείο
Προφανώς συνευθειακά και .Επειδή
Έτσι η είναι μεσοκάθετος της κι επειδή (υπό χορδής-εφαπτόμενης) τελικά έχουμε
.Άρα
Έστω τώρα .Τότε κι έτσι τα ορθογώνια τρίγωνα
θα είναι ίσα αφού και
Άρα κι επειδή εφαπτόμενη του θα είναι και η
Αν ,επειδή και
Αλλά και ‘άρα κ.βάρους του και οι διάμεσοι είναι ίσες
άρα κι επειδή παραλ/μμο
Όμως και .Επομένως μεσοκάθετος της και συνευθειακά
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες