Το τμήμα ΟΙ

#1

: Το τμήμα ΟΙ.png (6.95 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές

Στο τρίγωνο ABC

είναι

το έγκεντρο και

το περίκεντρο. Αν γνωρίζουμε ότι OI||BC

και $\displaystyle \tan (B - C) = \frac{{24}}{7},$

να υπολογίσετε: α) το $\displaystyle \sin \frac{A}{2}$ ...................... και β) το

συναρτήσει της ακτίνας

του περίκυκλου.

#2

Επαναφορά.

#3

: Τμήμα_ΟΙ.png (25.77 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

Μετά από τριγωνομετρικές κυρίως σχέσεις βρίσκω :

$\boxed{Sin\frac{A}{2} = \frac{5}{8}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OI = \frac{3}{4}R}$

Το τρίγωνο ABC

έχει το περίκεντρο του εσωτερικά αυτού άρα είναι οξυγώνιο .

Η συνθήκη παραλληλίας του

με τη

αποδεικνύεται ότι είναι :

$cosB + \cos C = 1 \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} = 1$ .

Αλλά αφού $\tan (B - C) = \dfrac{{24}}{7} \Rightarrow \cos \dfrac{{B - C}}{2} = \dfrac{4}{5}$ και άρα $\boxed{\sin \dfrac{A}{2} = \dfrac{5}{8}}$ . Είναι όμως :

$r\cos A = R \Rightarrow r(1 - 2{\sin ^2}\dfrac{A}{2}) = R \Rightarrow \boxed{r = \dfrac{{7R}}{{32}}}$ . Τώρα από τη σχέση :

$I{O^2} = {R^2} - 2Rr = {R^2} - {R^2}\dfrac{7}{{16}} = {R^2}\dfrac{9}{{16}}$ έχω : $\boxed{IO = \dfrac{3}{4}R}$ .

#4

Βρίσκω τις ίδιες τιμές. Λίγο συνοπτικά η απόδειξη:

Προφανώς είναι

$\displaystyle{\angle IAO =\frac{B-C}{2}.}$

Από τον νόμο των συνημιτόνων είναι

$\displaystyle{IO^2=IA^2+OA^2-IO\cdot OA \cos \frac{B-C}{2},}$ ( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit}$ )

οπότε λαμβάνουμε τελικά

$\displaystyle{2R+\frac{r}{\sin ^2 \frac{A}{2}}=2R\frac{\cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2}}}$ .

Από τις σχέσεις $\displaystyle{\sin ^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}, \cos ^2x=\frac{1}{1+\tan ^2 x}}$

βρίσκουμε $\displaystyle{\sin \frac{B-C}{2}=\frac{3}{5}}$ και επειδή φανερά είναι $\displaystyle{r=R\cos A}$ , από την ( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit}$ ) βρίσκουμε τελικά

$\displaystyle{\sin \frac{A}{2}=\frac{5}{8}}$ , οπότε και $\displaystyle{\cos A=\frac{7}{32},r=\frac{7}{32}R}$ και τελικά

$\displaystyle{IO^2=R^2-2Rr=\cdots =\frac{9R^2}{16}\implies IO=\frac{3R}{4}.}$

Το τμήμα ΟΙ

Το τμήμα ΟΙ

Re: Το τμήμα ΟΙ

Re: Το τμήμα ΟΙ

Re: Το τμήμα ΟΙ

Μέλη σε σύνδεση